某工藝品廠要生產(chǎn)如圖所示的一種工藝品,該工藝品由一個(gè)圓柱和一個(gè)半球組成,要求半球的半徑和圓柱的底面半徑之比為3:2,工藝品的體積為34πcm3.設(shè)圓柱的底面直徑為4x(cm),工藝品的表面積為S(cm2).
(1)試寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)怎樣設(shè)計(jì)才能使工藝品的表面積最?

【答案】分析:(1)由題知圓柱的底面半徑為2x,半球的半徑為3x.設(shè)圓柱的高為h(cm).通過(guò)試工藝品的體積,求出圓柱的高于底面半徑的關(guān)系,然后寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)利用(1)的表達(dá)式,通過(guò)導(dǎo)數(shù),求出極值點(diǎn),說(shuō)明高、底面半徑、球的半徑的數(shù)值使工藝品的表面積最。
解答:解:(1)由題知圓柱的底面半徑為2x,半球的半徑為3x.
設(shè)圓柱的高為h(cm).因?yàn)楣に嚻返捏w積為34πcm3,所以
所以,所以工藝品的表面積為

=
=
由x>0且h=,得0
所以S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是S=17π,
(2)由(1)知,令S'=0,得x=1.
當(dāng)0<x<1時(shí),S'<0,所以S關(guān)于x∈(0,1]是單調(diào)減函數(shù);
當(dāng)1<x<時(shí),S'>0,所以S關(guān)于x∈是單調(diào)增函數(shù).
所以,當(dāng)x=1時(shí),S取得最小值=51π,此時(shí)h=4.
答:按照?qǐng)A柱的高為4cm,圓柱的底面半徑為2cm,半球的半徑為3cm設(shè)計(jì),工藝品的表面積最小,為51πcm2
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查空間想象能力,邏輯思維能力,體積計(jì)算能力,能夠正確求出表面積的表達(dá)式是解好本題的關(guān)鍵,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是常用方法.
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