已知P為橢圓
x24
+y2=1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求：
（1）|PF1|•|PF2|的最大值；
（2）|PF1|2+|PF2|2的最小值．
分析：（1）利用橢圓定義知|PF1|+|PF2|為定值2a，再利用均值定理求積|PF1|•|PF2|的最大值即可；
（2）利用配方法將|PF1|2+|PF2|2進(jìn)行配方，結(jié)合|PF1|+|PF2|為定值2a，再利用均值定理求|PF1|2+|PF2|2的最小值即可．
解答：解：（1）|PF1|•|PF2|≤(
|PF1|+|PF2|
2
)2=a2=4，
故：|PF1|•|PF2|的最大值是4；
（2）|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|•|PF2|≥4a2-2×(
|PF1|+|PF2|
2
)2=2a2=8，
故|PF1|2+|PF2|2的最小值是8．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的意義，橢圓定義的應(yīng)用，橢圓的幾何性質(zhì)，利用均值定理和函數(shù)求最值的方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P是橢圓
x2
4
+y2=1上的一動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+2y=0的距離最大值為
2
10
5
2
10
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•武漢模擬）已知P為橢圓
x2
4
+y2=1和雙曲線x2-
y2
2
=1的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，那么∠F1PF2的余弦值為
-
1
3
-
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：武漢模擬 題型：填空題

已知P為橢圓
x2
4
+y2=1和雙曲線x2-
y2
2
=1的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，那么∠F1PF2的余弦值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知P為橢圓
x2
4
+y2=1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求：
（1）|PF1|•|PF2|的最大值；
（2）|PF1|2+|PF2|2的最小值．

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