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已知函數f（x）=loga
x+b
x-b
（a＞0，b＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）討論f（x）的單調性．
（1）使f（x）有意義，則
x+b
x-b
＞0，
∵b＞0，∴x＞b或x＜-b，
∴f（x）的定義域為{x|x＞b或x＜-b}．
（2）由（1）知f（x）的定義域關于原點對稱，
∵f（-x）=loga
-x+b
-x-b
=loga
x-b
x+b
=loga(
x+b
x-b
)-1=-loga
x+b
x-b
=-f（x）．
∴f（x）為奇函數．
（3）設u=
x+b
x-b
=
x-b+2b
x-b
=1+
2b
x-b
，
設x1＞x2，則u1-u2=1+
2b
x1-b
-(1+
2b
x2-b
)=
2b(x2-x1)
(x1-b)(x2-b)
，
當x1＞x2＞b時，
2b(x2-x1)
(x1-b)(x2-b)
＜0，即u1＜u2，
此時，u為減函數，同理-b＞x1＞x2時，u也為減函數．
∴當a＞1時，f（x）=loga
x+b
x-b
在（-∞，-b）上為減函數，在（b，+∞）上也為減函數．
當0＜a＜1時，
f（x）=loga
x+b
x-b
在（-∞，-b）上為增函數，在（b，+∞）上也為增函數．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數在（0，
6
）上單調遞減，在（
6
，+∞）上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（3）記（2）中的函數圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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