如果以拋物線y2=4x過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓截y軸所得的弦長為4，那么該圓的方程是
 
．
分析：設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，y1），（x2，y2），由拋物線定義可得半徑r與圓心（x0，y0）的關(guān)系，再由圓截y軸弦長和勾股定理得r與圓心（x0，y0）的關(guān)系，從而解得r和x0．再設(shè)過焦點(diǎn)的直線方程為x=ay+1，聯(lián)立拋物線方程，分別消去x，y得到x0、y0和a的關(guān)系，從而求出結(jié)果．
解答：解：設(shè)過焦點(diǎn)的直線與拋物線交點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），圓心C即AB的中點(diǎn)（x0，y0），
由拋物線定義得，|AB|=x1+x2+p=x1+x2+2=2x0+2，∴r=x0+1，
∵圓截y軸所得的弦長為4
∴由勾股定理得，r2=4+x02，即
r=x0+1
r2=4+x02
解得x0=
3
2
，
∴r=
5
2
，
設(shè)過焦點(diǎn)的直線方程為x=ay+1，則
x=ay+1
y2=4x
，
消去x得y2-4ay-4=0，∴y1+y2=4a，即y0=2a
消去y得x2-（2+4a2）x+1=0，∴x1+x2=2+4a2，即x0=1+2a2=
3
2
，解得a=±
1
2
，
∴y0=2a=±1，所以該圓的方程是（x-
3
2
）2+（y±1）2=
25
4
，
故答案是（x-
3
2
）2+（y±1）2=
25
4
．
點(diǎn)評(píng)：此題考查拋物線的焦點(diǎn)弦公式AB|=x1+x2+p，以及直線與拋物線之間的關(guān)系，這也是新課改中新考綱中的要求．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=4ax（a＞0）的焦點(diǎn)為F，以點(diǎn)A（a+4，0）為圓心，|AF|為半徑的圓在x軸的上方與拋物線交于M、N兩點(diǎn)．
（I）求證：點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)F的橢圓上；
（II）設(shè)點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，是否存在這樣的a，使得|FP|是|FM|與|FN|的等差中項(xiàng)？如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1以拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且相似比為2，求橢圓C2的方程．
（2）已知點(diǎn)P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任一點(diǎn)，若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線x2=
1
mn
y異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明點(diǎn)Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線Cb上，若存在求出函數(shù)f（b）=SABCD的解析式及定義域，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知不垂直于x軸的動(dòng)直線l交拋物線y2=2mx（m＞0）于A、B兩點(diǎn)，若A、B兩點(diǎn)滿足∠AQP=∠BQP，其中Q（-4，0），原點(diǎn)O為PQ的中點(diǎn)．
①求證：A、P、B三點(diǎn)共線；
②當(dāng)m=2時(shí)，是否存在垂直于x軸的直線l′，使得l′被以AP為直徑的圓所截得的弦長為定值，如果存在，求出l′的方程，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年浙江省杭州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如果以拋物線y2=4x過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓截y軸所得的弦長為4，那么該圓的方程是    ．

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