【題目】已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.

（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（ii）當(dāng)最小時，求點(diǎn)T的坐標(biāo).

【答案】(1)；（2）證明見解析，

【解析】

（1）由題意，又，由此可求出的值，從而求得橢圓的方程.（2）橢圓方程化為.設(shè)PQ的方程為，代入橢圓方程得：.（ⅰ）設(shè)PQ的中點(diǎn)為，求出，只要，即證得OT平分線段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：化簡得：.再根據(jù)取等號的條件，可得T的坐標(biāo).

（1），又.

（2）橢圓方程化為.

（ⅰ）設(shè)PQ的方程為，代入橢圓方程得：.

設(shè)PQ的中點(diǎn)為，則

又TF的方程為，則得，

所以，即OT過PQ的中點(diǎn)，即OT平分線段PQ.

（ⅱ），又，所以

.

當(dāng)時取等號，此時T的坐標(biāo)為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某城市交通部門為了對該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖.

（1）求圖中x的值；

（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；

（3）已知滿意度評分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)3:2，若在滿意度評分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求2人均為男生的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,在四棱錐中,平面,底面為菱形,且,E為的中點(diǎn).

(1)求證:平面平面;

(2)棱上是否存在點(diǎn)F,使得平面?說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在多面體中，四邊形是正方形，平面平面，.

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于曲線，有如下結(jié)論：

①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱；

②曲線C關(guān)于直線x±y=0對稱；

③曲線C是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于2π；

④曲線C不是封閉圖形，且它與圓x2+y2=2無公共點(diǎn)；

⑤曲線C與曲線有4個交點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形．其中所有正確結(jié)論的序號為__．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖在四棱錐中,底面為矩形,,,平面平面,為等腰直角三角形,且,為底面的中心.

(1)求異面直線與所成角的余弦值;

(2)若為中點(diǎn),在棱上,若,,且二面角的正弦值為,求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)E、F分別是AB和PC的中點(diǎn)．

(1)求證：AB⊥平面PAD；

(2)求證：EF//平面PAD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的離心率為，橢圓上一點(diǎn)到左右兩個焦點(diǎn)的距離之和是4.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)與左右頂點(diǎn)不重合，若，求四邊形面積的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】河道上有一拋物線型拱橋，在正常水位時，拱圈最高點(diǎn)距水面8m，拱圈內(nèi)水面寬24m，一條船在水面以上部分高6.5m，船頂部寬6m．

（1）試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拱橋所在的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）近日水位暴漲了1.54m，為此，必須加重船載，降低船身，才能通過橋洞，試問：船身至少應(yīng)該降低多少?（精確到0.1m）

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同步練習(xí)冊答案