Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N分別為A₁B₁，BC之中點(diǎn)．
（1）試求，使．
（2）在（1）條件下，求二面角N-AC₁-M的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）以C₁點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，C₁A₁所在直線為x軸，C₁C所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A₁B₁=b，AA₁=a，分別求出與的坐標(biāo)，根據(jù)求出a與b的關(guān)系，從而求出，
（2）在（1）條件下，不妨設(shè)b=2，則，取AC₁中點(diǎn)為P，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠NPM為二面角N-AC₁-M的平面角，分別求出與的坐標(biāo)，計(jì)算它們的數(shù)量積即可求出此角．
解答：解：（1）以C₁點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，C₁A₁所在直線為x軸，C₁C所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)A₁B₁=b，AA₁=a（a，b∈（0，+∞）．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，則A₁，B，B₁，C的坐標(biāo)分別為：
（b，0，0），，，a），，，0），（0，0，a）．．
∴=，，a），=，，．

（2）在（1）條件下，不妨設(shè)b=2，則，
又A，M，N坐標(biāo)分別為（b，0，a），（，，0），（，，a）．
∴，．∴
同理|AM|=|C₁M|．
∴△AC₁N與△AC₁M均為以AC₁為底邊的等腰三角形，
取AC₁中點(diǎn)為P，則NP⊥AC₁，MP⊥AC₁⇒∠NPM為二面角N-AC₁-M的平面角，
而點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，0，），
∴=，，．同理=，，．
∴=．
∴∠NPM=90°⇒二面角N-AC₁-M的大小等于90°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二面角及其度量，以及空間向量，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．