Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（-cosx，cosx）
（1）當(dāng)x∈[

π

2

，

9π

8

]時，求函數(shù)f（x）=2

a

•

b

+1的最大值．
（2）設(shè)f（x）=2

a

•

b

+1，將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式化簡函數(shù)f（x）的解析式，確定角的范圍，求出其最值．
（2）由題意得，g（x）=

2

 sin（

x

2

-

7π

12

），由2kπ+

π

2

≤（

x

2

-

7π

12

）≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求出x的范圍，即得到g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=2

a

•

b

+1=2（-cos²x+sinxcosx）+1=2sinxcosx-（2cos²x-1 ）
=sin2x-cos 2x=

2

sin（2x-

π

4

）．
∵x∈[

π

2

，

9π

8

]，∴

3π

4

≤2x-

π

4

≤2π，∴-1≤sin（2x-

π

4

）≤

2

2

，
∴當(dāng) 2x-

π

4

=

3π

4

，即 x=

π

2

時，函數(shù)f（x）有最大值為

2

 ×

2

2

=1．
（2）由題意得，f（x）=

2

 sin（2x-

π

4

）的圖象向右平移

π

6

個單位后得到，
y=

2

sin[2（x-

π

6

）-

π

4

]=

2

 sin[2x-

7π

12

]，
再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到g（x）=

2

 sin[

1

4

•2x-

7π

12

]=

2

 sin（

x

2

-

7π

12

）．
由2kπ+

π

2

≤（

x

2

-

7π

12

）≤2kπ+

3π

2

，k∈z，4kπ+

13π

6

≤x≤4kπ+

25π

6

，
故g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（ 4kπ+

13π

6

，4kπ+

25π

6

 ），k∈z．

點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的圖象的變換，三角函數(shù)的最值，正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，得到g（x）的 解析式是解題的難點．