【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的定義域;
(2)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,并給出證明;
(3)若在區(qū)間上恒取正值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),證明見解析;(3)
【解析】
(1)將代入得到的解析式,根據(jù)解析式要有意義,列出不等式,求解即可得到的定義域;
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,令,先判斷出,再根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性,判斷出,從而證明結(jié)結(jié)論;
(3)將在上恒取正值,等價(jià)為在上恒成立,轉(zhuǎn)化為,利用的單調(diào)性即可求出的最小值,從而列出不等式,求解即可得到的取值范圍.
(1)當(dāng)時(shí),,
,即,
,即,
∴函數(shù)的定義域?yàn)?/span>;
(2)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).
證明:任取,且,
,
令,
,
,,
,即,
,
,
∴,
∴在上是減函數(shù);
(3)由(2)可知,在上是減函數(shù),
∴在上是單調(diào)遞減函數(shù),
∴在上的最小值為,
∵在上恒取正值,即在上恒成立,
,
,即,
,
,
,
故的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平行六面體中,以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1,且兩兩夾角為.
(1)求的長(zhǎng);
(2)求異面直線與夾角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,銷售利潤(rùn)分別為2千元/件、1千元/件.甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在兩種設(shè)備上加工,生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用設(shè)備2小時(shí), 設(shè)備6小時(shí);生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用設(shè)備3小時(shí), 設(shè)備1小時(shí). 兩種設(shè)備每月可使用時(shí)間數(shù)分別為480小時(shí)、960小時(shí),若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時(shí)售出,則該企業(yè)每月利潤(rùn)的最大值為( )
A. 320千元 B. 360千元 C. 400千元 D. 440千元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在對(duì)人們的休閑方式的一次調(diào)查中,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法調(diào)查了125人,其中女性70人,男性55人.女性中有40人主要的休閑方式是看電視,另外30人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng);男性中有20人主要的休閑方式是看電視,另外35人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng).
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)列聯(lián)表;
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下,認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系?
(3)在休閑方式為看電視的人中按分層抽樣方法抽取6人參加某機(jī)構(gòu)組織的健康講座,講座結(jié)束后再?gòu)倪@6人中抽取2人作反饋交流,求參加交流的恰好為2位女性的概率.
附:
P( ) | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
休閑方式 性別 | 看電視 | 運(yùn)動(dòng) | 合計(jì) |
女 | |||
男 | |||
合計(jì) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).
(1)證明:AE⊥平面PCD;
(2)求二面角A-PD-C的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某區(qū)“創(chuàng)文明城區(qū)”(簡(jiǎn)稱“創(chuàng)城”)活動(dòng)中,教委對(duì)本區(qū)四所高中學(xué)校按各校人數(shù)分層抽樣,隨機(jī)抽查了100人,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:
學(xué)校 | ||||
抽查人數(shù) | 50 | 15 | 10 | 25 |
“創(chuàng)城”活動(dòng)中參與的人數(shù) | 40 | 10 | 9 | 15 |
(注:參與率是指:一所學(xué)!皠(chuàng)城”活動(dòng)中參與的人數(shù)與被抽查人數(shù)的比值)假設(shè)每名高中學(xué)生是否參與”創(chuàng)城”活動(dòng)是相互獨(dú)立的.
(1)若該區(qū)共2000名高中學(xué)生,估計(jì)學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的人數(shù);
(2)在隨機(jī)抽查的100名高中學(xué)生中,隨機(jī)抽取1名學(xué)生,求恰好該生沒(méi)有參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的概率;
(3)在上表中從兩校沒(méi)有參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人,求恰好兩校各有1人沒(méi)有參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 是等邊三角形, 為的中點(diǎn),四邊形為直角梯形, .
(1)求證:平面平面;
(2)求四棱錐的體積;
(3)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某房地產(chǎn)開發(fā)商投資81萬(wàn)元建一座寫字樓,第一年裝修維護(hù)費(fèi)為1萬(wàn)元,以后每年增加2萬(wàn)元,把寫字樓出租,每年收入租金30萬(wàn)元.
(1)若扣除投資和各種裝修維護(hù)費(fèi),則從第幾年開始獲取純利潤(rùn)?
(2)若干年后開發(fā)商為了投資其他項(xiàng)目,有兩種處理方案:①純利潤(rùn)總和最大時(shí),以10萬(wàn)元出售該樓;②年平均利潤(rùn)最大時(shí)以46萬(wàn)元出售該樓,問(wèn)哪種方案更優(yōu)?
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