Question

（2013•普陀區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）和x都是定義在集合

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上的函數(shù)，對(duì)于任意的

2

x，都有x成立，稱函數(shù)x與y在l上互為“l(fā)函數(shù)”．
（1）函數(shù)f（x）=2x與g（x）=sinx在M上互為“H函數(shù)”，求集合M；
（2）若函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）與g（x）=x+1在集合M上互為“x函數(shù)”，求證：a＞1；
（3）函數(shù)m與m在集合M={x|x＞-1且x≠2k-3，k∈N^*}上互為“m函數(shù)”，當(dāng)m時(shí)，m，且m在m上是偶函數(shù)，求函數(shù)m在集合M上的解析式．

Answer 1

分析：（1）由f（g（x）=g（f（x）），得2sinx=sin2x，由此能求出集合M．
（2）由題意得，a^x+1=a^x+1（a＞0且a≠1），變形得a^x（a-1）=1，由于a＞0且a≠1，ax=

1

a-1

，由此能證明a＞1．
（3）當(dāng)-1＜x＜0，則0＜-x＜1，由于函數(shù)g（x）在（-1，1）上是偶函數(shù)，知g（x）=g（-x）=log₂（1-x），由此能求出函數(shù)m在集合M上的解析式．

解答：（1）解：由f（g（x）=g（f（x）），得2sinx=sin2x，
化簡(jiǎn)得，2sinx（1-cosx）=0，sinx=0或cosx=1，…（2分）
解得x=kπ或x=2kπ，k∈Z，
即集合M={x|x=kπ}k∈Z．…（2分）
（若學(xué)生寫出的答案是集合M={x|x=kπ，k∈Z}的非空子集，扣（1分），以示區(qū)別．）
（2）證明：由題意得，a^x+1=a^x+1（a＞0且a≠1）…（2分）
變形得，a^x（a-1）=1，由于a＞0且a≠1，ax=

1

a-1

，…（2分）
因?yàn)閍^x＞0，所以

1

a-1

＞0，即a＞1．…（2分）
（3）解：當(dāng)-1＜x＜0，則0＜-x＜1，由于函數(shù)g（x）在（-1，1）上是偶函數(shù)
則g（x）=g（-x）=log₂（1-x）
所以當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，g（x）=log₂（1+|x|）…（2分）
由于f（x）=x+2與函數(shù)g（x）在集合M上“互為H函數(shù)”
所以當(dāng)x∈M，f（g（x）=g（f（x））恒成立，
g（x）+2=g（x+2）對(duì)于任意的x∈（2n-1，2n+1）（n∈N）恒成立，
即g（x+2）-g（x）=2…（2分）
所以g[x+2（n-1）+2]-g[x+2（n-1）]=2，
即g（x+2n）-g[x+2（n-1）]=2
所以g（x+2n）=g（x）+2n，
當(dāng)x∈（2n-1，2n+1）（n∈N）時(shí)，x-2n∈（-1，1）g（x-2n）=log₂（1+|x-2n|）…（2分）
所以當(dāng)x∈M時(shí)，g（x）=g[（x-2n）+2n]=g（x-2n）+2n=log₂（1+|x-2n|）+2n．…（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合的求法，考查不等式的證明，考查函數(shù)的解析式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．