(1)求側(cè)面與底面所成角α的余弦;
(2)求相鄰兩個側(cè)面所成二面角β的余弦;
(3)求證:β=2α.
(1)解析:如圖,作高SO和斜高SE,連結(jié)OE,
∵棱錐S—ABCD為正四棱錐,∴OE⊥BC.
∴∠SEO為側(cè)面與底面所成的角.
由題知∠SEO=α,
∵SE=a,OE=
a,
∴cosα==
.
(2)解析:設(shè)SA的中點為F,連結(jié)BF和DF,
∵△ABS和△ADS都是正三角形,
∴DF⊥SA,BF⊥SA.
∴∠DFB為相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角.
∴∠DFB=β.
由DF=BF= a,BD=
a得
cosβ=.
(3)證明:∵cos2α=2cos2α-1=-,
由(2)得cosβ=-,
0°<2α<180°,0°<β<180°,∴β=2α.
小結(jié):正棱錐中斜高和斜高在底面上的射影所成的角為側(cè)面與底面所成的角,求側(cè)面與底面所成的角時,通常作出高、斜高及斜高在底面上的射影來組成直角三角形,通過解直角三角形求出要求的角.本例中的(2)求兩個側(cè)面所成二面角β的余弦是利用余弦定理求得的.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044
正四棱錐的棱長均為a,
(1)求側(cè)面與底面所成角a的余弦;
(2)求相鄰兩個側(cè)面所成二面角b的余弦;
(3)求證:b=2a.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044
(1)求側(cè)面與底面所成角a的余弦;
(2)求相鄰兩個側(cè)面所成二面角b的余弦;
(3)求證:b=2a.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年黑龍江省雞西市高三上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)卷 題型:選擇題
正四棱錐所有棱長均為2,則側(cè)棱和底面所成的角是 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60 ° (D) 90°
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