Question

給出以下判斷：
（1）b=0是函數(shù)f（x）=ax²+bx+c為偶函數(shù)的充要條件；
（2）橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，以點(diǎn)（1，1）為中點(diǎn)的弦所在直線方程為x+2y-3=0；
（3）回歸直線

y

=

b

x+

a

必過點(diǎn)(

.

x

，

.

y

)；
（4）如圖，在四面體ABCD中，設(shè)E為△BCD的重心，則

AE

=

AB

+

1

2

AC

+

2

3

AD

；
（5）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1( a＞0 ， b＞0 )的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為右支是異于右頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，△PF₁F₂的內(nèi)切圓圓心為T，則點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為a．其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：（1）利用充要條件的判斷方法判斷；
（2）利用點(diǎn)差法，求出以點(diǎn)（1，1）為中點(diǎn)的弦所在直線方程；
（3）回歸直線

y

=

b

x+

a

必過點(diǎn)(

.

x

，

.

y

)，故正確；
（4）利用向量的線性運(yùn)算可得結(jié)論；
（5）設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓分別與PF₁、PF₂切于點(diǎn)A、B，與F₁F₂切于點(diǎn)M，則|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，又點(diǎn)P在雙曲線右支上⇒|PF₁|-|PF₂|=2a⇒|F₁M|-|F₂M|=2a．而|F₁M|+|F₂M|=2c，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則由|F₁M|-|F₂M|=2a，⇒（x+c）-（c-x）=2a，可解得x=a，顯然內(nèi)切圓的圓心與點(diǎn)M的連線垂直于x軸，于是問題解決．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=ax²+bx+c是偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），得a（-x）²-bx+c=ax²+bx+c，∴-bx=bx，∴b=0；當(dāng)b=0時(shí)，f（x）=ax²+c，滿足f（-x）=f（x），是偶函數(shù)，所以b=0是函數(shù)f（x）=ax²+bx+c為偶函數(shù)的充要條件，故（1）正確；
（2）設(shè)以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦與橢圓交于E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），∵A（1，1）為EF中點(diǎn)，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，把E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）分別代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，得

x12 4 + y12 3 =1 x22 4 + y22 3 =1

，∴3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，∴6（x₁-x₂）+8（y₁-y₂）=0，∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

，∴以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程為3x+4y-7=0，故（2）錯(cuò)誤；
（3）回歸直線

y

=

b

x+

a

必過點(diǎn)(

.

x

，

.

y

)，故正確；
（4）在四面體ABCD中，設(shè)E為△BCD的重心，則

AE

=

AB

+

BE

=

AB

+

2

3

•

1

2

(

BC

+

BD

)=

1

3

(

AB

+

AC

+

AD

)，故（4）不正確；
（5）設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓分別與PF₁、PF₂切于點(diǎn)A、B，與F₁F₂切于點(diǎn)M，則|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|．又點(diǎn)P在雙曲線右支上，∴|PF₁|-|PF₂|=2a，即（|PA|+|F₁A|）-（|PB|+|F₂B|）=2a，∴|F₁M|-|F₂M|=2a，而|F₁M|+|F₂M|=2c，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），∵|F₁M|-|F₂M|=2a，∴（x+c）-（c-x）=2a，解得x=a，故（5）正確．
故答案為：（1）（3）（5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，需要逐個(gè)判斷，有難度．