Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離與定直線l：x=-1的距離相等．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線m交軌跡E于點(diǎn)A，B，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)P（x，y），由拋物線定義知點(diǎn)P的軌跡E為拋物線，寫(xiě)出其標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）l：y=x-1，代入y²=4x，消去x，得到關(guān)于y的一元二次方程，再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求得A、B兩點(diǎn)間的垂直距離|y₁-y₂|，后即可由三角形的面積公式得出△AOB的面積，這里只須求出兩點(diǎn)的垂直的距離乘以線段OF的長(zhǎng)度即可．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），
由拋物線定義知點(diǎn)P的軌跡E為拋物線，
其方程為：y²=4x．
（2）l：y=x-1，代入y²=4x，消去x，得y²-4y-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y _1，2=2±2

2

∴|y₁-y₂|=4

2

∴△AOB的面積：

1

2

×OF×| y1 -y2|
=

1

2

×1×4

2

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的定義，以及設(shè)而不求的思想方法、方程思想，屬于基礎(chǔ)題．