Question

對(duì)于數(shù)列A：a₁，a₂，a₃（a_i∈N，i=1，2，3），定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列B：b₁，b₂，b₃，其中b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2），且b₃=|a₃-a₁|．這種“T變換”記作B=T（A）．繼續(xù)對(duì)數(shù)列B進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列C：c₁，c₂，c₃，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束．
（Ⅰ）試問(wèn)A：2，6，4經(jīng)過(guò)不斷的“T變換”能否結(jié)束？若能，請(qǐng)依次寫(xiě)出經(jīng)過(guò)“T變換”得到的各數(shù)列；若不能，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）設(shè)A：a₁，a₂，a₃，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各項(xiàng)之和為2012．
（ⅰ）求a，b；
（ⅱ）若數(shù)列B再經(jīng)過(guò)k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：數(shù)列A：2，6，4不能結(jié)束，各數(shù)列依次為4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．
以下重復(fù)出現(xiàn)，所以不會(huì)出現(xiàn)所有項(xiàng)均為0的情形． …（3分）
（Ⅱ）解：（�。┮�?yàn)锽的各項(xiàng)之和為2012，且a≥b，所以a為B的最大項(xiàng)，
所以|a₁-a₃|最大，即a₁≥a₂≥a₃，或a₃≥a₂≥a₁．…（5分）
當(dāng)a₁≥a₂≥a₃時(shí)，可得
由a+b+2=2012，得2（a₁-a₃）=2012，即a=1006，故b=1004．…（7分）
當(dāng)a₃≥a₂≥a₁時(shí)，同理可得 a=1006，b=1004．…（8分）
（ⅱ）方法一：由B：b，2，b+2，則B經(jīng)過(guò)6次“T變換”得到的數(shù)列分別為：b-2，b，2；2，b-2，b-4；b-4，2，b-6；b-6，b-8，2；2，b-10，b-8；b-12，2，b-10．
由此可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)6次“T變換”后得到的數(shù)列也是形如“b，2，b+2”的數(shù)列，與數(shù)列B“結(jié)構(gòu)”完全相同，但最大項(xiàng)減少12．
因?yàn)?006=12×83+10，
所以，數(shù)列B經(jīng)過(guò)6×83=498次“T變換”后得到的數(shù)列為8，2，10．
接下來(lái)經(jīng)過(guò)“T變換”后得到的數(shù)列分別為：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2，…
從以上分析可知，以后重復(fù)出現(xiàn)，所以數(shù)列各項(xiàng)和不會(huì)更小．
所以經(jīng)過(guò)498+4=502次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)和最小，k的最小值為502．…（13分）
方法二：若一個(gè)數(shù)列有三項(xiàng)，且最小項(xiàng)為2，較大兩項(xiàng)相差2，則稱此數(shù)列與數(shù)列B“結(jié)構(gòu)相同”．
若數(shù)列B的三項(xiàng)為x+2，x，2（x≥2），則無(wú)論其順序如何，經(jīng)過(guò)“T變換”得到的數(shù)列的三項(xiàng)為x，x-2，2（不考慮順序）．
所以與B結(jié)構(gòu)相同的數(shù)列經(jīng)過(guò)“T變換”得到的數(shù)列也與B結(jié)構(gòu)相同，除2外其余各項(xiàng)減少2，各項(xiàng)和減少4．
因此，數(shù)列B：1004，2，1006經(jīng)過(guò)502次“T變換”一定得到各項(xiàng)為2，0，2（不考慮順序）的數(shù)列．
通過(guò)列舉，不難發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)為0，2，2的數(shù)列，無(wú)論順序如何，經(jīng)過(guò)“T變換”得到的數(shù)列會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，各項(xiàng)和不再減少．
所以，至少通過(guò)502次“T變換”，得到的數(shù)列各項(xiàng)和最小，故k的最小值為502．…（13分）
分析：（Ⅰ）首先要弄清“T變換”的特點(diǎn)，其次要嘗試著去算幾次變換的結(jié)果，看一下有什么規(guī)律，顯然只有當(dāng)變換到數(shù)列的三項(xiàng)都相等時(shí)，再經(jīng)過(guò)一次“T變換”才能得到數(shù)列的各項(xiàng)均為零，否則“T變換”不可能結(jié)束．（Ⅱ）中（i）的解答要通過(guò)已知條件得出a是B數(shù)列的最大項(xiàng)，從而去掉絕對(duì)值符號(hào)得到數(shù)列A是單調(diào)數(shù)列，得到答案．（ii）的解答要抓住B經(jīng)過(guò)6次“T變換”后得到的數(shù)列也是形如“b，2，b+2”的數(shù)列，與數(shù)列B“結(jié)構(gòu)”完全相同，且最大項(xiàng)減少12，從而數(shù)列和減少24，經(jīng)過(guò)6×83+4=502次變換后使得各項(xiàng)的和最小，于是k的最小值為502．
點(diǎn)評(píng)：此題需要較強(qiáng)的邏輯思維能力及計(jì)算能力，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)和歸納出其規(guī)律，進(jìn)而得出答案．