Question

已知拋物線W：y=ax²經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1），過(guò)A作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線l₁，l₂．
（Ⅰ）求拋物線W的方程及準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l₁與拋物線W相切時(shí)，求直線l₂的方程
（Ⅲ）設(shè)直線l₁，l₂分別交拋物線W于B，C兩點(diǎn)（均不與A重合），若以線段BC為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，求直線BC的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線方程求得p，則拋物線方程可得．進(jìn)而根據(jù)拋物線的性質(zhì)求得準(zhǔn)線方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線l₁與拋物線相切時(shí)，對(duì)拋物線方程求導(dǎo)，把x=2代入即可求得直線l₁的斜率，進(jìn)而可知其傾斜角，推斷出直線l2的傾斜角，則直線l₂的斜率求得，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線方程．
（Ⅲ）設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，可求得方程的兩個(gè)根，進(jìn)而可推斷出B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得BC的表達(dá)式，根據(jù)以BC為直徑的圓與準(zhǔn)線y=-1相切，可知4k2+1-(-1)=4

2

k求得k，則B，C點(diǎn)的坐標(biāo)可求，進(jìn)而求得BC的斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線方程．

解答：解：（Ⅰ）由于A（2，1）在拋物線y=ax²上，所以1=4a，即a=

1

4

．
故所求拋物線的方程為y=

1

4

x2，其準(zhǔn)線方程為y=-1．

（Ⅱ）當(dāng)直線l₁與拋物線相切時(shí)，由y'|_x=2=1，可知直線l₁的斜率為1，其傾斜角為45°，
所以直線l₂的傾斜角為135°，故直線l₂的斜率為-1，所以l₂的方程為y=-x+3

（Ⅲ）不妨設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x-2）（k＞0），
由

y-1=k(x-2) y= 1 4 x2

得x²-4kx+8k-4=0，
易知該方程有一個(gè)根為2，所以另一個(gè)根為4k-2，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4k-2，4k²-4k+1），
同理可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（-4k-2，4k²+4k+1）．
所以|BC|=

[(4k-2)-(-4k-2)]2+[(4k2-4k+1)-(4k2+4k+1)]2

=

(8k)2+(-8k)2

=8

2

k，．
線段BC的中點(diǎn)為（-2，4k²+1），因?yàn)橐訠C為直徑的圓與準(zhǔn)線y=-1相切，
所以4k2+1-(-1)=4

2

k，由于k＞0，解得k=

2

2

．
此時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2

2

-2，3-2

2

)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2

2

-2，3+2

2

)，
直線BC的斜率為

(3+2 2 )-(3-2 2 )

(-2 2 -2)-(2 2 -2)

=-1，
所以，BC的方程為y-(3-2

2

)=-[x-(2

2

-2)]，即x+y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．涉及了直線與拋物線的關(guān)系，直線的斜率，兩點(diǎn)間的公式的應(yīng)用，有較強(qiáng)的綜合性．