(選做題)已知直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
,圓M的參數(shù)方程為
x=2cosθ
y=-2+2sinθ
為參數(shù)).
(Ⅰ)求圓M上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)C(2,0)的直線(xiàn)l與圓M交于A(yíng)、B兩點(diǎn),且
CA
=
AB
,求直線(xiàn)l的斜率.
分析:(1)把圓的參數(shù)方程化為普通方程,把直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,求出圓心到直線(xiàn)的距離,把此距離再減去半徑,即得所求.
(2)設(shè)出直線(xiàn)l的參數(shù)方程,代入圓M的方程化簡(jiǎn),根據(jù)參數(shù)的幾何意義以及韋達(dá)定理,求得cosθ+sinθ=
3
2
4
,再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出tanθ的值,即為所求.
解答:解:(1)圓M的普通方程為x2+(y+2)2=4,圓心M(0,-2),半徑等于2.直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
,即x+y-1=0.
圓心到直線(xiàn)x+y-1=0的距離d=
3
2
2
,
∴圓M上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為
3
2
2
-2

(2)設(shè)直線(xiàn)l的參數(shù)方程是
x=2+tcosθ
y=tsinθ
(t
為參數(shù)),代入圓M的方程得:t2+(4cosθ+4sinθ)t+4=0,
由t的幾何意義及
CA
=
AB
知,t1=2t2且t1+t2=-4cosθ-4sinθ,t1t2=4.
結(jié)合幾何圖形知,t<0,∴t1=2t2=-2
2
,
-4cosθ-4sinθ=-3
2
,即cosθ+sinθ=
3
2
4

sinθcosθ=
1
16
,∴tanθ=4±
15

∴直線(xiàn)l的斜率是
15
點(diǎn)評(píng):本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法,參數(shù)的幾何意義,把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用,直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
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π
4
)=
2
2
,則點(diǎn)A(2,
4
)
到這條直線(xiàn)的距離為
 

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π
4
)=
2
2
,則點(diǎn)(0,0)到這條直線(xiàn)的距離是
2
2
2
2

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