Question

18．某高校數(shù)學系2016年高等代數(shù)試題有6個題庫，其中3個是新題庫（即沒有用過的題庫），3個是舊題庫（即至少用過一次的題庫），每次期末考試任意選擇2個題庫里的試題考試．
（1）設(shè)2016年期末考試時選到的新題庫個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望；
（2）已知2016年時用過的題庫都當作舊題庫，求2017年期末考試時恰好到1個新題庫的概率．

Answer 1

分析 （1）ξ的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．
（2）設(shè)“從6個題庫中任意取出2個題庫，恰好取到一個新題庫”為事件B，則“2017年時恰好取到一個新題庫”就是事件A₀B，由此能求出2017年期末考試時恰好到1個新題庫的概率．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）ξ的所有可能取值為0，1，2，
設(shè)“2016年期末考試時取到i個新題庫（即ξ=i）”為事件A_i（i=0，1，2）．
又因為6個題庫中，其中3個是新題庫，3個是舊題庫，
所以$P（{A_0}）=P（ξ=0）=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}$；$P（{A_1}）=P（ξ=1）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_6^2}=\frac{3}{5}$；$P（{A_2}）=P（ξ=2）=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}$，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

ξ的數(shù)學期望為$E（ξ）=0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}=1$．
（2）設(shè)“從6個題庫中任意取出2個題庫，恰好取到一個新題庫”為事件B，
則“2017年時恰好取到一個新題庫”就是事件A₀B+A₁B+A₂B，而事件A₀B，A₁B，A₂B互斥，
所以P（A₀B+A₁B+A₂B）=P（A₀B）+P（A₁B）+P（A₂B）
=$\frac{1}{5}×\frac{C_3^1C_3^1}{C_6^2}+\frac{3}{5}×\frac{C_2^1C_4^1}{C_6^2}+\frac{1}{5}×\frac{C_5^1}{C_6^2}=\frac{38}{75}$．
所以2017年時恰好取到一個新題庫的概率為$\frac{38}{75}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．