Question

設(shè)橢圓+=1(a＞b＞0)的左焦點為F₁(-2,0),左準線l₁與x軸交于點N(-3,0),過點N且傾斜角為30°的直線l交橢圓于A、B兩點.

(1)求直線l和橢圓的方程;

(2)求證:點F₁(-2,0)在以線段AB為直徑的圓上;

(3)在直線l上有兩個不重合的動點C、D,以CD為直徑且過點F₁的所有圓中,求面積最小的圓的半徑長.

Answer 1

(1)解：直線l:y=(x+3),

    由已知c=2及=3,

    解得a²=6,∴b²=6-2²=2.

    ∴橢圓方程為+=1.

    (2)證明：解方程組

    將②代入①,整理得2x²+6x+3=0.         ③

    設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則x₁+x₂=-3,x₁x₂=.

    方法一:·=·

    =

    =

    =-1,

    ∴F₁A⊥F₁B,即∠AF₁B=90°.

    ∴點F₁(-2,0)在以線段AB為直徑的圓上.

    方法二:·=(x₁+2,y₁)·(x₂+2,y₂)

    =(x₁+2)(x₂+2)+y₁y₂

    =x₁x₂+2(x₁+x₂)+4+［x₁x₂+3(x₁+x₂)+9］

    =x₁x₂+3(x₁+x₂)+7=0,

    ∴F₁A⊥F₁B.則∠AF₁B=90°.

    ∴點F₁(-2,0)在以線段AB為直徑的圓上.

    (3)解：面積最小的圓的半徑長應(yīng)是點F₁到直線l的距離,設(shè)為r.

    ∴r==為所求.