設函數(shù)f(x)=lg
m-1
i=1
ix+mxa
m
,其中a∈R,m是給定的正整數(shù),且m≥2,如果不等式f(x)>(x-1)lgm在區(qū)間[1,+∞)有解,則實數(shù)a的取值范圍是
 
分析:依據(jù)題意利用函數(shù)解析式,根據(jù)題設不等式求得1-a<(
1
m
x+(
2
m
x+…+(
m-1
m
x=g(x).根據(jù)m的范圍,判斷出g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減.,進而求得函數(shù)g(x)的最大值,利用g(x)max>1-a求得a范圍.
解答:解:f(x)=lg
1+2x+3x+…+(m-1) x+mx•a
m
>(x-1)lgm=lgmx-1,
1+2x+3x+…+(m-1) x+mx•a
m
>mx-1
∴1-a<(
1
m
x+(
2
m
x+…+(
m-1
m
x=g(x).
1
m
2
m
,…,
m-1
m
∈(0,1),
∴g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減.
∴g(x)max=f(1)=
1
m
+
2
m
+…+
m-1
m
=
m-1
2

由題意知,1-a<
m-1
2
,
∴a>
3-m
2
.又m是給定的正整數(shù),且m≥2,故a>
1
2

故答案為:a>
1
2
點評:本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì).考查了學生對函數(shù)基礎知識的掌握程度.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=lg(2x-3)(x-
1
2
)
的定義域為集合A,函數(shù)g(x)=
-x2+4ax-3a2
(a>0)的定義域為集合B.
(1)當a=1時,求集合A∩B;
(2)若A∩B=B,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=lg(ax)•lg
a
x2

(1)當a=0.1,求f(1000)的值.
(2)若f(10)=10,求a的值;
(3)若對一切正實數(shù)x恒有f(x)≤
9
8
,求a的范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

現(xiàn)有下列命題:
①設a,b為正實數(shù),若a2-b2=1,則a-b<1;
②已知a>2b>0,則a2+
8
b(a-2b)
的最小值為16;
③數(shù)列{n(n+4)(
2
3
)n}中的最大項是第4項
;
④設函數(shù)f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
,則關于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4個解.
⑤若sinx+siny=
1
3
,則siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命題有
①②③
①②③
.(寫出所有真命題的編號)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=lg(
2
x+1
-1)
的定義域為集合A,函數(shù)g(x)=
1-a2-2ax-x2
的定義域為集合B.
(1)求證:函數(shù)f(x)的圖象關于原點成中心對稱.
(2)a≥2是A∩B=Φ的什么條件(充分非必要條件、必要非充分條件、充要條件、既非充分也非必要條件)?并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=lg(x+
x2+1
)

(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(3)證明函數(shù)f(x)在其定義域上是單調(diào)增函數(shù).

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