Question

（本題滿分12分）

已知整數(shù)列滿足，，前項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第項(xiàng)起依次成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)求出所有的正整數(shù)，使得．

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：(1) 設(shè)數(shù)列前6項(xiàng)的公差為d，則a₅=－1+2d，a₆=－1+3d，d為整數(shù).

    又a₅，a₆，a₇成等比數(shù)列，所以(3d－1)²=4(2d－1)，

    即  9d²－14d+5=0，得d =1.                                 …………………3分

    當(dāng)n≤6時(shí)，a_n =n－4，

    由此a₅=1，a₆=2，數(shù)列從第5項(xiàng)起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為2，

    所以，當(dāng)n≥5時(shí)，a_n =2^n-5.

    故                             …………………6分

(2) 由（1）知，數(shù)列為：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…

    當(dāng)m=1時(shí)等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；

    當(dāng)m=3時(shí)等式成立，即 －1+0+1=0； 

    當(dāng)m=2、4時(shí)等式不成立；                           …………………9分

    當(dāng)m≥5時(shí)，a_ma_m+1a_m+2 =2^3m-12， a_m +a_m+1+a_m+2=2^m-5(2³－1)=7×2^m-5，

             7×2^m-5≠2^3m-12，

    所以 a_m +a_m+1+a_m+2≠a_ma_m+1a_m+2 .                                             

    故所求 m= 1，或m=3．                             …………………12分

 

【解析】略