Question

在邊長(zhǎng)為4cm的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為B，構(gòu)成一個(gè)三棱錐．
（1）請(qǐng)判斷MN與平面AEF的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）證明AB⊥平面BEF；
（3）求二面角M-EF-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意及圖形的翻折規(guī)律可知MN應(yīng)是△ABF的一條中位線，利用線面平行的判定定理即可求證；
（2）根據(jù)翻折前AB⊥BE，AD⊥DF，可知翻折后AB⊥BE，AB⊥BF，結(jié)合線面垂直的判定定理得到AB⊥平面BEF；
（3）記EF的中點(diǎn)為G，連接MF，BG，MG，可得∠MGB是二面角M-EF-B的平面角，解△MGB，可得二面角M-EF-B的余弦值

解答：（1）解：MN∥平面AEF…（1分）
證明如下：因M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，
翻折后B、C、D重合，
∴MN是△ABF的一條中位線，…（3分）
∴MN∥AF
又∵M(jìn)N?平面AEF，AF?平面AEF
∴MN∥平面AEF．…（6分）
（2）證明：∵正方形ABCD中，AB⊥BE，AD⊥DF，
∴翻折后AB⊥BE，AB⊥BF，
又∵BE∩BF=B，BE，BF?平面BEF
∴AB⊥平面BEF，…（8分）
（3）記EF的中點(diǎn)為G，連接MF，BG，MG
∵BE=BF，ME=MF
∴BG⊥EF且MG⊥EF，
故∠MGB是二面角M-EF-B的平面角…10分
∵AB⊥平面BEF
∴∠MBG=90°
在△BEF中，BG=

2

，
又由MB=2，
∴MG=

MB2+BG2

=

6

∴cos∠MGB=

BG

MG

=

3

3

即二面角M-EF-B的余弦值

3

3

…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，線面垂直，考查二面角的平面角的計(jì)算，掌握線面平行，線面垂直的判定方法及二面角平面角的構(gòu)造是關(guān)鍵．