Question

已知z是復數，z+2i、

z

2-i

均為實數（i為虛數單位），
（1）若復數（z+ai）²在復平面上對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．
（2）若復數z₁=cosθ+isinθ（0≤θ≤π），求復數|z-z₁|的取值范圍．

Answer 1

考點：復數代數形式的混合運算

專題：數系的擴充和復數

分析：利用已知條件求出復數z，（1）列出復數的實部與虛部滿足的不等式，求出范圍即可．
（2）利用復數模求解三角函數的最值即可．

解答： 解：z是復數，z+2i、

z

2-i

均為實數，
設z=x-2i，則

x-2i

2-i

=

(x-2i)(2+i)

(2-i)(2+i)

=

2x+2+(x-4)i

5

，∴x=4．
z=4-2x．
（1）復數（z+ai）²=（4-2i+ai）²=16-（2-a）²-8（2-a）i．
復平面上對應的點在第一象限．

12+4a-a2＞0 8a-16＞0

，解得2＜a＜6．
（2）復數z₁=cosθ+isinθ（0≤θ≤π），
復數|z-z₁|=|4-2i-cosθ-isinθ|=

(4-cosθ)2+(-2-sinθ)2

=

21+4sinθ-8cosθ

=

21+4 5 sin(θ+γ)

．tanγ=-2，2

5

-1≤

21+4 5 sin(θ+γ)

≤2

5

+1．
復數|z-z₁|的取值范圍：[2

5

-1，2

5

+1]．

點評：本題考查復數的代數形式的混合運算，復數的基本概念的應用以及復數的模的求法．