Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點
（1）求證：EF⊥CD；
（2）在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結論；
（3）求DB與平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設AD=a，可求出各點的坐標；
（1）求出EF和CD的方向向量，根據(jù)向量垂直的充要條件，可證得

EF

⊥

DC

，即EF⊥DC．
（2）設G（x，0，z），根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得

FG

•

CB

=

FG

•

CP

=0，進而可求出x，z值，得到G點的位置；
（3）求出平面DEF的法向量為

n

，及DB的方向

BD

的坐標，代入向量夾角公式，可得DB與平面DEF所成角的正弦值

解答：解：以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖），
設AD=a，則D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、E（a，

a

2

，0）、F（

a

2

，

a

2

，

a

2

）、P（0，0，a）．
（1）∵

EF

=（-

a

2

，0，

a

2

），

DC

=（0，a，0），
∴

EF

•

DC

=（-

a

2

，0，

a

2

）•（0，a，0）=0，
∴

EF

⊥

DC

∴EF⊥DC．-------（4分）
（2）設G（x，0，z），則G∈平面PAD．

FG

=（x-

a

2

，-

a

2

，z-

a

2

），

FG

•

CB

=（x-

a

2

，-

a

2

，z-

a

2

）•（a，0，0）=a（x-

a

2

）=0，∴x=

a

2

；

FG

•

CP

=（x-

a

2

，-

a

2

，z-

a

2

）•（0，-a，a）=

a2

2

+a（z-

a

2

）=0，∴z=0．
∴G點坐標為（

a

2

，0，0），即G點為AD的中點．---------（8分）
（3）設平面DEF的法向量為

n

=（x，y，z）．
由

n • DF =0 n • DE =0

得：

a 2 (x+y+z)=0 ax+ a 2 y=0

取x=1，則y=-2，z=1，
∴

n

=（1，-2，1）．
cos＜

BD

，

n

＞=

BD •n

| BD ||n|

=

a

2 a• 6

=

3

6

，
∴DB與平面DEF所成角的正弦值的大小為

3

6

------（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中建立空間坐標系，將空間線線關系，線面關系轉化為向量垂直和平行，將線面夾角轉化為向量夾角是解答的關鍵．