Question

已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）判斷方程根的個(gè)數(shù)，證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）探究：是否存在這樣的點(diǎn)，使得曲線在該點(diǎn)附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）方程有且只有一個(gè)實(shí)根．

（3）存在唯一點(diǎn)使得曲線在點(diǎn)附近的左、右兩部分分別

位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)．

【解析】

試題分析：解法一：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081312565744718282/SYS201308131258167186436795_DA.files/image005.png">，所以，

函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率．

由得：．                    4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081312565744718282/SYS201308131258167186436795_DA.files/image014.png">，，所以在至少有一個(gè)根．

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081312565744718282/SYS201308131258167186436795_DA.files/image018.png">，所以在上遞增，

所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有且只有一

個(gè)實(shí)根．                         7分

（Ⅲ）證明如下：

由，，可求得曲線在點(diǎn)處的切

線方程為，

即．                    8分

記

，

則．               11分

（1）當(dāng)，即時(shí)，對一切成立，

所以在上遞增．

又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

即存在點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn)A附近的左、右兩部分分別位于曲線

在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)．                   12分

（2）當(dāng)，即時(shí)，

時(shí)，；時(shí)，；

時(shí)，．

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

即曲線在點(diǎn)附近的左、右兩部分都位于曲線在該點(diǎn)處切線的

同側(cè)．                                   13分

（3）當(dāng)，即時(shí)，

時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，．

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

即曲線在點(diǎn)附近的左、右兩部分都位于曲線在該點(diǎn)處切線的同側(cè)．

綜上，存在唯一點(diǎn)使得曲線在點(diǎn)附近的左、右兩部分分別

位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)．                             14分

解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；

（Ⅲ）證明如下：

由，，可求得曲線在點(diǎn)處的切

線方程為，

即．                  8分

記

，

則．            11分

若存在這樣的點(diǎn)，使得曲線在該點(diǎn)附近的左、右兩部分都

位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)，則問題等價(jià)于t不是極值點(diǎn)，

由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，

t不是極值點(diǎn)，即．

所以在上遞增．

又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

即存在唯一點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn)附近的左、右兩部分分別

位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)．                         14分

考點(diǎn)：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．