若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上任一點到其上頂點的最大距離恰好等于該橢圓的中心到其準(zhǔn)線的距離，則該橢圓的離心率的取值范圍是
 
．
分析：設(shè)橢圓上點為（acosθ，bsinθ）進而求得到上頂點距離的平方進而看
b2
c2
≤1和
b2
c2
＞1時，橢圓上點到上頂點距離恰好是中心到準(zhǔn)線距離的最大值，進而求得a和c的不等式關(guān)系求得e的范圍．
解答：解：設(shè)橢圓上點為（acosθ，bsinθ）
其到上頂點距離的平方為（acosθ）2+（b-bsinθ）2=a2+b2-2b2sinθ-c2（sinθ）2
若
b2
c2
≤1，則最大值為a2+b2+
b4
c2
=
a4
c2

所以此時橢圓上點到上頂點距離恰好是中心到準(zhǔn)線距離，
所以e的范圍滿足
b2
c2
≤1，
即：c2≥b2=a2-c2
2c2≥a2
∴
2
2
≤e＜1
若
b2
c2
＞1，則最大值為4b2，它要等于
a4
c2

a4=4c2（a2-c2）
所以a2=2c2，此時b2=c2，舍去
故答案為[
2
2
，1)
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生邏輯推理和基本運算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若橢圓
x2
a2
+y2=1（a＞0）的一條準(zhǔn)線經(jīng)過拋物線y2=-8x的焦點，則該橢圓的離心率為（　�。�
A、
1
2
B、
1
3
C、
3
2
D、
2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若橢圓
x2
a2
+y2=1(a＞0)與雙曲線
x2
2
-y2=1有相同的焦點，則a=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•西城區(qū)一模）雙曲線C：
x2
2
-y2=1的離心率為
6
2
6
2
；若橢圓
x2
a2
+y2=1(a＞0)與雙曲線C有相同的焦點，則a=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：南京模擬 題型：單選題

若橢圓
x2
a2
+y2=1（a＞0）的一條準(zhǔn)線經(jīng)過拋物線y2=-8x的焦點，則該橢圓的離心率為（　�。�
A．
1
2
B．
1
3
C．
3
2
D．
2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：西城區(qū)一模 題型：填空題

雙曲線C：
x2
2
-y2=1的離心率為______；若橢圓
x2
a2
+y2=1(a＞0)與雙曲線C有相同的焦點，則a=______．

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