Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³-2x+e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．若f（a-1）+f（2a²）≤0．則實數(shù)a的取值范圍是[-1，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 求出f（x）的導數(shù)，由基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可得f（x）在R上遞增；再由奇偶性的定義，可得f（x）為奇函數(shù)，原不等式即為2a²≤1-a，運用二次不等式的解法即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³-2x+e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$的導數(shù)為：
f′（x）=3x²-2+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$≥-2+2$\sqrt{{e}^{x}•\frac{1}{{e}^{x}}}$=0，
可得f（x）在R上遞增；
又f（-x）+f（x）=（-x）³+2x+e^-x-e^x+x³-2x+e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$=0，
可得f（x）為奇函數(shù)，
則f（a-1）+f（2a²）≤0，
即有f（2a²）≤-f（a-1）=f（1-a），
即有2a²≤1-a，
解得-1≤a≤$\frac{1}{2}$，
故答案為：[-1，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷和應用，注意運用導數(shù)和定義法，考查轉(zhuǎn)化思想的運用和二次不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題．