Question

已知函數(shù)f（x）=+，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果當(dāng)x＞0，且x≠1時，f（x）＞+，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；利用切線方程求出切線的斜率及切點(diǎn)；利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線的斜率及切點(diǎn)也在曲線上，列出方程組，求出a，b值．
（II）將不等式變形，構(gòu)造新函數(shù)，求出新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)k分類討論，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，求出參數(shù)k的范圍．
解答：解：由題意f（1）=1，即切點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）
（Ⅰ）
由于直線x+2y-3=0的斜率為，且過點(diǎn)（1，1），故
即解得a=1，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
）．
考慮函數(shù)（x＞0），則
．
（i）設(shè)k≤0，由知，當(dāng)x≠1時，h′（x）＜0．而h（1）=0，故
當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）＜0，可得；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，可得h（x）＞0
從而當(dāng)x＞0，且x≠1時，f（x）-（+）＞0，即f（x）＞+．
（ii）設(shè)0＜k＜1．由于當(dāng)x∈（1，）時，（k-1）（x²+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而
h（1）=0，故當(dāng)x∈（1，）時，h（x）＞0，可得h（x）＜0，與題設(shè)矛盾．
（iii）設(shè)k≥1．此時h′（x）＞0，而h（1）=0，故當(dāng)x∈（1，+∞）時，h（x）＞0，可得h（x）＜0，與題設(shè)矛盾．
綜合得，k的取值范圍為（-∞，0]
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率、考查構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值、考查發(fā)了討論的數(shù)學(xué)思想方法．