Question

已知“?a∈R，lg（x²-2mx+1）-2a-3=0一定有解”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是

（-∞，-1]∪[1，+∞）

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，對任意實數(shù)a，方程lg（x²-2mx+1）-2a-3=0一定有解．轉(zhuǎn)化為lg（x²-2mx+1）=2a+3，而2a+3是任意實數(shù)，所以函數(shù)y=lg（x²-2mx+1）的值域是R，即真數(shù)x²-2mx+1能取到任意正數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的值域，解之可得m≤-1或m≥1．

解答：解：命題“?a∈R，lg（x²-2mx+1）-2a-3=0一定有解”的意思是：對任意實數(shù)a，方程lg（x²-2mx+1）-2a-3=0一定有解．
∵a是任意實數(shù)，lg（x²-2mx+1）-2a-3=0即lg（x²-2mx+1）=2a+3，
∴函數(shù)y=lg（x²-2mx+1）的值域是R
因此t=x²-2mx+1=（x-m）²+1-m²取到任意正數(shù)，可得1-m²≤0
解之得：m≤-1或m≥1
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1]∪[1，+∞）

點評：本題以命題真假的判斷為載體，考查了含有量詞的命題和基本初等函數(shù)的值域等知識點，屬于基礎(chǔ)題．