Question

數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₃=b₃=6，a₄=b₄=4，a₅=b₅=3，且{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列，{b_n-2}（n∈N^*）是等比數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）n取何值時(shí)，a_n-b_n取到最小正值？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知，可求出{a_n+1-a_n}的第三項(xiàng)與公差，{b_n-2}的第三項(xiàng)與公比，代入等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出a_n+1-a_n與b_n-2的表達(dá)式，再利用疊加法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和，從而求出a_n與b_n；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法或函數(shù)單調(diào)性求a_n的最小值．
解答：解：（I）設(shè)c_n=a_n+1-a_n，數(shù)列{a_n+1-a_n}的公差為d，
則c₃=a₄-a₃=-2，c₄=a₅-a₄=-1，
∴d=c₄-c₃=1，
∴c_n=c₃+（n-3）=n-5，
∴a_n+1-a_n=n-5
∴（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₅-a₄）+（a₄-a₃）=（n-6）+（n-7）+…+（-1）+（-2），
∴，
∴；（4分）
設(shè)d_n=b_n-2，數(shù)列{b_n-2}的公比是q，則d₃=b₃-2=4，d₄=b₄-2=2，
∴，
∴，
∴b_n=2+2^5-n（n∈N^*）（7分）．
（II）a₁-b₁=-5，a₂-b₂=-1，a₃-b₃=a₄-b₄=a₅-b₅=0，
，
猜想：n=6時(shí)，a₆-b₆取到最小正值．（9分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法給以證明：
（1）當(dāng)n=7時(shí)，；
（2）假設(shè)n=k（k≥7，k∈N^*）時(shí)，，
當(dāng)n=k+1時(shí)，
=，
又∵，
即，
∴n=k+1時(shí)，猜想成立．
由（1）、（2）知，對任意不少于7的正整數(shù)n，均有．
綜上所述，n=6時(shí)，a₆-b₆取到最小正值．（14分）
（用函數(shù)單調(diào)性證明相應(yīng)給分）
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)，等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識，同時(shí)考查了分析，推理的能力及運(yùn)算能力，解題過程中充分運(yùn)用了疊加法，數(shù)學(xué)歸納法．