Question

已知曲線(xiàn)f（x）=2x-+1上一點(diǎn)P處的切線(xiàn)與x+3y-2=0垂直，求過(guò)P的切線(xiàn)方程．

Answer 1

解：設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）
∵切線(xiàn)與直線(xiàn)x+3y-2=0垂直
∴切線(xiàn)的斜率為k==3
由此可得：曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)y'=2+=3，解之得x₀=±1．
①當(dāng)x₀=1時(shí)，代入函數(shù)表達(dá)式得y₀=f（1）=2，
∴切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），
利用點(diǎn)斜式方程，得到切線(xiàn)方程為y-2=3（x-1），化簡(jiǎn)得y=3x-1
②當(dāng)x₀=-1時(shí)，類(lèi)似①的方法可得所求切線(xiàn)方程為y=3x+3
綜上所述，可得所求過(guò)P的切線(xiàn)方程．為y=3x-1或y=3x+3．
分析：根據(jù)x+3y-2=0的斜率，算出切線(xiàn)的斜率等于3，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為±1．再利用直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式分情況討論，即可得到所求過(guò)P的切線(xiàn)方程．
點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)圖象的一條切線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直，求切線(xiàn)的方程，著重考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線(xiàn)方程的幾種形式等知識(shí)，屬于中檔題．