Question

平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦點的直線x+y-

3

=0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為

1

2

．
（Ι）求M的方程
（Ⅱ）C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）把右焦點（c，0）代入直線可解得c．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點P（x₀，y₀），利用“點差法”即可得到a，b的關(guān)系式，再與a²=b²+c²聯(lián)立即可得到a，b，c．
（II）由CD⊥AB，可設(shè)直線CD的方程為y=x+t，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到弦長|CD|．把直線x+y-

3

=0與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到弦長|AB|，利用S_{四邊形ACBD}=

1

2

|AB| |CD|即可得到關(guān)于t的表達式，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到其最大值．

解答：解：（I）把右焦點（c，0）代入直線x+y-

3

=0得c+0-

3

=0，解得c=

3

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點P（x₀，y₀），
則

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，相減得

x 2 1 - x 2 2

a2

+

y 2 1 - y 2 2

b2

=0，
∴

x1+x2

a2

+

y1+y2

b2

×

y1-y2

x1-x2

=0，
∴

2x0

a2

+

2y0

b2

×(-1)=0，又kOP=

1

2

=

y0

x0

，
∴

1

a2

-

1

2b2

=0，即a²=2b²．
聯(lián)立得

a2=2b2 a2=b2+c2 c= 3

，解得

b2=3 a2=6

，
∴M的方程為

x2

6

+

y2

3

=1．
（II）∵CD⊥AB，∴可設(shè)直線CD的方程為y=x+t，
聯(lián)立

y=x+t x2 6 + y2 3 =1

，消去y得到3x²+4tx+2t²-6=0，
∵直線CD與橢圓有兩個不同的交點，
∴△=16t²-12（2t²-6）=72-8t²＞0，解-3＜t＜3（*）．
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），∴x3+x4=-

4t

3

，x3x4=

2t2-6

3

．
∴|CD|=

(1+12)[(x3+x4)2-4x3x4]

=

2[(- 4t 3 )2-4× 2t2-6 3 ]

=

2 2 • 18-2t2

3

．
聯(lián)立

x+y- 3 =0 x2 6 + y2 3 =1

得到3x²-4

3

x=0，解得x=0或

4

3

3

，
∴交點為A（0，

3

），(

4

3

3

，-

3

3

)，
∴|AB|=

( 4 3 3 -0)2+(- 3 3 - 3 )2

=

4 6

3

．
∴S_{四邊形ACBD}=

1

2

|AB| |CD|=

1

2

×

4 6

3

×

2 2 • 18-2t2

3

=

8 3 • 18-2t2

9

，
∴當且僅當t=0時，四邊形ACBD面積的最大值為

8

3

6

，滿足（*）．
∴四邊形ACBD面積的最大值為

8

3

6

．

點評：本題綜合考查了橢圓的定義、標準方程及其性質(zhì)、“點差法”、中點坐標公式、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、四邊形的面積計算、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力、數(shù)形結(jié)合的思想方法、計算能力、分析問題和解決問題的能力．