Question

已知：3Sinβ=Sin（2α+β），則tanβ的最大值是________．

Answer 1

分析：先利用變換角的方法，將已知等式轉(zhuǎn)化為3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，再利用三角變換公式將等式化簡得tan（α+β）=2tanα，最后利用兩角差的正切公式將tanβ表示為tanα的函數(shù)，利用均值定理球最值即可
解答：由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
?3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
?sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα
若cos（α+β）=0，則易得tanβ=0
若cos（α+β）≠0，則在等式兩邊同除以cos（α+β），即
∴tan（α+β）=2tanα （tanα≠0）
因?yàn)閠anβ=tan[（α+β）-α]===
顯然當(dāng)tanα＞0時，tanβ取得最大值，∴tanβ=≤==
當(dāng)且僅當(dāng)tanα=1時取等號
綜上所述，tanβ的最大值是
故答案為
點(diǎn)評：本題主要考查了三角化簡和求值中變換角的方法和技巧，三角變換公式在化簡和求值中的應(yīng)用，均值定理求最值的方法，特別注意最值取得時等號成立的條件，屬中檔題