Question

（2012•蘭州模擬）已知數(shù)列{a_n}中a1=

1

2

，an+1=

3an

an+3

(n∈N*)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)N，都有bn•

n(3-4an)

an

=1成立．求證：

1

2

≤Sn＜1．

Answer 1

分析：（1）對(duì)數(shù)列遞推式，兩邊取倒數(shù)，可得數(shù)列{

1

an

}是以2為首項(xiàng)，

1

3

為公差的等差數(shù)列，由此可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先確定數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)法求和，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：∵an+1=

3an

an+3

(n∈N*)
∴

1

an+1

=

1

3

+

1

an

∴

1

an+1

-

1

an

=

1

3

∵a1=

1

2

∴數(shù)列{

1

an

}是以2為首項(xiàng)，

1

3

為公差的等差數(shù)列
∴

1

an

=2+

n-1

3

=

n+5

3

∴an=

3

n+5

（2）證明：∵bn•

n(3-4an)

an

=1
∴bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

∴

1

2

≤Sn＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．