Question

已知函數(shù)f（x）=2^x，x∈R．
（1）當(dāng)m取何值時(shí)方程|f（x）-2|=m有一個(gè)解？?jī)蓚�(gè)解？
（2）若不等式f²（x）+f（x）-m＞0在R上恒成立，求m的范圍．

Answer 1

分析：（1）|f（x）-2|=m有一個(gè)解和兩個(gè)解，轉(zhuǎn)化成g（x）=|f（x）-2|與y=m有一個(gè)交點(diǎn)和兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，畫出g（x）=|f（x）-2|=|2^x-2|=

2x-2，    x≥1 -2x+2，   x＜1

的圖象，根據(jù)圖象即可得答案，
（2）不等式f²（x）+f（x）-m＞0在R上恒成立，即4^x+2^x-m＞0在R上恒成立，利用參變量分離，轉(zhuǎn)化成求4^x+2^x的取值范圍．

解答：解：（1）令g（x）=|f（x）-2|=|2^x-2|=

2x-2，    x≥1 -2x+2，   x＜1

，
方程|f（x）-2|=m有一個(gè)解，即y=g（x）與y=m有一個(gè)交點(diǎn)，方程|f（x）-2|=m有兩個(gè)解，即y=g（x）與y=m有兩個(gè)交點(diǎn)，
作出圖象如右圖所示，可得
當(dāng)m=0或m≥2時(shí)，方程|f（x）-2|=m有一個(gè)解，
當(dāng)0＜m＜2時(shí)，方程|f（x）-2|=m有兩個(gè)解．
（2）不等式f²（x）+f（x）-m＞0在R上恒成立，即4^x+2^x-m＞0在R上恒成立，
即m＜4^x+2^x在R上恒成立，即m＜（4^x+2^x），
4^x+2^x=（2^x+

1

2

）²-

1

4

＞0，
∴m≤0，
所以m的取值范圍為m≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)的恒成立問(wèn)題，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題經(jīng)常利用函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為求交點(diǎn)問(wèn)題，恒成立問(wèn)題一般使用參變量分離法處理．屬于中檔題．