Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x-1)+

2a

x

(a∈R)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果當(dāng)x＞1，且x≠2時(shí)，

ln(x-1)

x-2

＞

a

x

恒成立，則求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判斷二次函數(shù)y=x²-2ax+2a的正負(fù)問題，再對(duì)a分類討論即可．
（2）當(dāng)x＞1，且x≠2時(shí)，

ln(x-1)

x-2

＞

a

x

恒成立問題，轉(zhuǎn)化為當(dāng)x＞1，且x≠2時(shí)

1

x-2

[f(x)-a]＞0恒成立問題，只要利用（1）的結(jié)論對(duì)a及x進(jìn)行分類討論f（x）-a及x-2的符號(hào)即可．

解答：解：（1）由題意可知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

1

x-1

-

2a

x2

=

x2-2ax+2a

x2(x-1)

，
設(shè)g（x）=x²-2ax+2a，△=4a²-8a=4a（a-2），
①當(dāng)△≤0，即0≤a≤2，g（x）≥0，
∴f^′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
②當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）的對(duì)稱軸為x=a，當(dāng)x＞1時(shí)，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知g（x）＞g（1）＞0，
∴f^′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
③當(dāng)a＞2時(shí)，設(shè)x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程x²-2ax+2a=0的兩個(gè)根，則x1=a-

a2-2a

＞1，x2=a+

a2-2a

，
當(dāng)1＜x＜x₁或x＞x₂時(shí)，f^′（x）＞0，f（x）在（1，x₁），（x₂，+∞）上是增函數(shù)．
當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，f^′（x）＜0，f（x）在（x₁，x₂）上是減函數(shù)．
綜上可知：當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
          當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，x₂），（x₂，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（x₁，x₂）．
（2）

ln(x-1)

x-2

＞

a

x

可化為

1

x-2

[ln(x-1)+

2a

x

-a]＞0，即

1

x-2

[f(x)-a]＞0，（*）
令h（x）=f（x）-a，由（1）知：
①當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，所以h（x）在（1，+∞）是增函數(shù)．
因?yàn)楫?dāng)1＜x＜2時(shí)，h（x）＜h（2）=0，∴（*）式成立；
當(dāng)x＞2時(shí)，h（x）＞h（2）=0，∴（*）成立；
所以當(dāng)a≤2時(shí)，（*）成立
②當(dāng)a＞2時(shí)，因?yàn)閒（x）在（x₁，2）上是減函數(shù)，所以h（x）在（x₁，2）上是減函數(shù)，所以當(dāng)x₁＜x＜2時(shí)，h（x）＞h（2）=0，（*）不成立．
綜上可知，a的取值范圍為（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，關(guān)鍵是通過分類討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及會(huì)轉(zhuǎn)化利用已證的結(jié)論解決問題．