Question

某中學為推進后勤社會化改革，與建筑公司商定：由該公司向建設(shè)銀行貸款500萬元為某中學修建可容納一千人的學生公寓．工程于2010年初動工，年底竣工并交付使用，公寓管理處采用向?qū)W生收費還建行貸款（年利率5%，按復(fù)利計算）．公寓每年所收費用除去物業(yè)管理費和水電費共18萬元，其余部分全部在年底還建行貸款．
（1）若公寓收費標準定為每生每年800元，問到哪一年底可以還清全部貸款；
（2）若公寓管理處要在2018年底把貸款全部還清，則每生每年的最低收費標準是多少元？（精確到元）
（lg1.7343=0.239，lg1.05=0.0212，1.05⁸=1.4774）

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意，公寓2010年底建成，2011年開始使用．設(shè)公寓投入使用后n年可償還全部貸款，依題意有　62[1+（1+5%）+（1+5%）²+…+（1+5%）^n-1]≥500（1+5%）ⁿ⁺¹．由此能求出到2022年底可全部還清貸款．
（2）設(shè)每生和每年的最低收費標準為x元，因到2018年底公寓共使用了8年，依題意有（

1000x

10000

-18）[1+（1+5%）+（1+5%）²+…+（1+5%）⁷]≥500（1+5%）⁹．由此能求出每生每年的最低收費標準為992元．

解答： 解：（1）依題意，公寓2010年底建成，2011年開始使用．
設(shè)公寓投入使用后n年可償還全部貸款，
則公寓每年收費總額為1000×800（元）=800000（元）=80萬元，扣除18萬元，可償還貸款62萬元．
依題意有　62[1+（1+5%）+（1+5%）²+…+（1+5%）^n-1]≥500（1+5%）ⁿ⁺¹．
化簡得62（1.05ⁿ-1）≥25×1.05ⁿ⁺¹．
∴1.05ⁿ≥1.7343．
兩邊取對數(shù)整理得n≥

lg1.7343

lg1.05

≈11．
∴取n=12（年）．
∴到2022年底可全部還清貸款．
（2）設(shè)每生和每年的最低收費標準為x元，
因到2018年底公寓共使用了8年，
依題意有（

1000x

10000

-18）[1+（1+5%）+（1+5%）²+…+（1+5%）⁷]≥500（1+5%）⁹．
化簡得(0.1x-18)•

10．58-1

1.05-1

≥500×1.059．
∴x≥10（18+

25×1.059

1.058-1

）≈992（元）
故每生每年的最低收費標準為992元．

點評：本題考查數(shù)列知識在生產(chǎn)實際中的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．解題時要注意對數(shù)性質(zhì)的靈活運用．