Question

在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且2bcosC=2a-c．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若sinAsinC的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosC，代入已知等式中整理后得到關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosB，將得出的關(guān)系式代入求出cosB的值，即可確定出角B的大�。�
（Ⅱ）由B度數(shù)得到A+C的度數(shù)，用A表示出C，代入原式中利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式變形，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答： 解（Ⅰ）∵cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴代入已知等式得：2b•

a2+b2-c2

2ab

=2a-c，
整理得：a²+c²-b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）由B=

π

3

得，C=

2π

3

-A，
∴sinAsinC=sinAsin（

2π

3

-A）=

3

2

sinAcosA+

1

2

sin²A=

3

4

sin2A-

1

4

cos2A+

1

4

=

1

2

sin（2A-

π

6

）+

1

4

，
∵A∈（0，

2π

3

），∴2A-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

），
∴-

1

2

＜sin（2A-

π

6

）≤1，
∴sinAsinC的取值范圍為（0，

3

4

]．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．