Question

14．若數(shù)列A_n：a₁、a₂、…a_n（n≥2）滿足|a_k+1-a_k|=d＞0（k=1，2，…，n-1），則稱(chēng)A_n為F數(shù)列，并記S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n：
（1）寫(xiě)出所有滿足a₁=0，S（A₄）≤0的F數(shù)列A₄；
（2）若a₁=-1，n=2016，證明：F數(shù)列是遞減數(shù)列的充要條件是a_n=-2016d；
（3）對(duì)任意給定的正整數(shù)n（n≥2），且d∈N^*，是否存在a₁=0的F數(shù)列A_n，使得S（A_n）=0？如果存在，求出正整數(shù)n滿足的條件，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）對(duì)照F數(shù)列的條件和求和概念，即可得到；
（2）可先證明必要性：由遞減數(shù)列的定義，得到A_n是首項(xiàng)為-1，公差為-1的等差數(shù)列．所以a₂₀₁₆=-1+（2016-1）×（-1）=-2016；再證充分性：由新定義推出a₂₀₁₆≥a₁-2015，又因?yàn)閍₁=-1，a₂₀₁₆=2016，所以a₂₀₁₆=a₁-2015．得證；
（3）由a₁=0，|a_k+1-a_k|=d＞0，可得a₂=d或-d，然后不適一般性驗(yàn)證即可．

解答 （1）解：由題意，F(xiàn)數(shù)列A₄可以是0，d，0，-d或0，-d，0，d等；
（2）證明：必要性：因?yàn)镕數(shù)列A₂₀₁₆是遞減數(shù)列，
所以a_k+1-a_k=-1（k=1，2，…，2015）．            
所以A_n是首項(xiàng)為-1，公差為-1的等差數(shù)列．
所以a₂₀₁₆=-1+（2016-1）×（-1）=-2016．
充分性：由于a₂₀₁₆-a₂₀₁₅≥-1，
a₂₀₁₅-a₂₀₁₄≥-1
…
a₂-a₁≥-1                              
所以a₂₀₁₆-a₁≥-2015，即a₂₀₁₆≥a₁-2015，
又因?yàn)閍₁=-1，a₂₀₁₆=2016，
所以a₂₀₁₆=a₁-2015．
故a_n+1-a_n=-1＜0（k=1，2，…，2015）即A_n是遞減數(shù)列．
綜上，結(jié)論得證；
（3）由a₁=0，|a_k+1-a_k|=d＞0，可得a₂=d或-d，
a₁=0，a₂=d，a₃=0，a₄=-d，S（A_n）=0；
a₁=0，a₂=d，a₃=2d，a₄=-d，a₅=0，a₆=-d，a₃=-2d，a₄=-d，S（A_n）=0
不適一般性，可得n=4k，k∈N^*，S（A_n）=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義及理解，考查數(shù)列的運(yùn)用，充分必要條件的證明，解題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的正確運(yùn)用，屬于難題．