Question

若關(guān)于x的方程sin2x+cos2x=k在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個不同的實數(shù)解，則k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x，g（x）=k，求出f（x）在[0，

π

2

]上的值域并作出圖象，
由兩函數(shù)的圖象有兩個不同交點求得k的取值范圍．

解答： 解：令f（x）=sin2x+cos2x，g（x）=k，
則f（x）=sin2x+cos2x
=

2

(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)=

2

sin(2x+

π

4

)．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴

2

sin(2x+

π

4

)∈[-1，

2

]，
函數(shù)f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)在[0，

π

2

]內(nèi)的圖象如圖所示：

∴要使方程sin2x+cos2x=k在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個不同的實數(shù)解，
則函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個不同的交點，
則k的取值范圍為[1，

2

）．
故答案為：[1，

2

）．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查了三角函數(shù)最值的求法，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想解題思想方法，是中檔題．