Question

（2013•廣東模擬）在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，D、E分別為AB、AC上的點，AB⊥DE，沿DE將△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC，設(shè)AD=x．
（1）試將四棱錐A-BCED的體積u（x）用x表示出來．
（2）當(dāng)x為何值時，u（x）取最大值．
（3）當(dāng)u（x）取最大值時，求二面角A-CE-B的某一個三角函數(shù)值．

Answer 1

分析：（1）由Rt△ADE∽Rt△ACB得

AD

AC

=

DE

BC

，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出DE=

3

3

x，從而得到S_△ADE=

3

6

x2，結(jié)合S_△ABC=2

3

算出S四邊形DECB=2

3

-

3

6

x2，由面面垂直的性質(zhì)定理證出AD⊥平面BDEC，得AD是四棱錐A-BCED的高，再用錐體的體積公式，即可得到四棱錐A-BCED的體積u（x）的表達式；
（2）根據(jù)（1）中所得的u（x）的表達式，求導(dǎo)數(shù)得u′(x)=

3 3

18

(4-x2)．研究u'（x）的正負，可得u（x）的增區(qū)間是（0，2），減區(qū)間是（2，3），從而得到u（x）最大值為u（2）=

8 3

9

；
（3）過點D作DF⊥CE，交CE的延長線于F，連接AF．根據(jù)AD⊥平面BCDE利用三垂線定理，得AF⊥CE，所以∠AFD就是二面角A-CE-B的平面角．Rt△AFD中，算出DF=DEsin60°=

3

3

AD×

3

2

=1，從而得到tan∠AFD=

AD

DF

=2，即得二面角A-CE-B的正切值等于2．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得Rt△ADE∽Rt△ACB，
∴

AD

AC

=

DE

BC

，結(jié)合Rt△ACB中，AC=4cos30°=2

3

，BC=4sin30°=2
代入得

x

2 3

=

DE

2

，解得DE=

3

3

x，
由此可得S_△ADE=

1

2

×AD×DE=

3

6

x2，而S_△ABC=

1

2

×AC×BC=

1

2

ABcos30°×ABsin30°=2

3

∴S四邊形DECB=S△ABC-S△ADE=2

3

-

3

6

x2
∵平面ADE⊥平面BDEC，平面ADE∩平面BDEC=DE，AD?平面ADE且AD⊥DE
∴AD⊥平面BDEC，AD是四棱錐A-BCED的高線，
因此四棱錐A-BCED的體積V=

1

3

SDECB×AD=

3

18

(12x-x3)，(0＜x＜3)
即u（x）=

3

18

(12x-x3)，(0＜x＜3)
（2）由（1）得u′(x)=

3 3

18

(4-x2)，(0＜x＜3)，
令u′（x）＞0，得x∈（0，2）；令u′（x）＜0，得x∈（2，3）
∴u（x）的增區(qū)間是（0，2），減區(qū)間是（2，3），因此函數(shù)u（x）的最大值umax=u(2)=

8 3

9

；
（3）由（2）得當(dāng)u（x）取最大值時，AD=x=2
過點D作DF⊥CE，交CE的延長線于F，連接AF
∵AD⊥平面BCDE，可得DF是AF在平面BCDE內(nèi)的射影
∴由三垂線定理，可得AF⊥CE，
因此，∠AFD就是二面角A-CE-B的平面角
∵△DEF中，∠DEF=90°-30°=60°，DE=

3

3

AD=

2 3

3

∴DF=DEsin60°=

2 3

3

×

3

2

=1
由此可得Rt△AFD中，tan∠AFD=

AD

DF

=2
即二面角A-CE-B的正切值等于2．

點評：本題給出平面圖形的折疊問題，求四棱錐A-BCED的體積的最大值，并求此時二面角A-CE-B的一個三角函數(shù)值，著重考查了解直角三角形、相似三角形、面面垂直的性質(zhì)定理、錐體的體積公式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬于中檔題．