Question

若f（x）是函數(shù)f（x）在點(diǎn)x附近的某個(gè)局部范圍內(nèi)的最大（小）值，則稱f（x）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值，x為極值點(diǎn)．已知a∈R，函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1）．
（Ⅰ）若，求函數(shù)y=|f（x）|的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若不等式恒成立，求a的取值范圍．
（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把代入可得函數(shù)的解析式，進(jìn)而可得導(dǎo)函數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得函數(shù)的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）原不等式等價(jià)于，設(shè)，通過求導(dǎo)數(shù)，分a≤0，和a＞0討論可得答案．
解答：解：（Ⅰ）若，則，．
當(dāng)x∈（0，e-1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（e-1，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．…（2分）
又因?yàn)閒（1）=0，f（e）=0，所以
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x∈（1，e-1）時(shí)，f（x）＞0；
當(dāng)x∈（e-1，e）時(shí)，f（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f（x）＜0．…（4分）
故y=|f（x）|的極小值點(diǎn)為1和e，極大值點(diǎn)為e-1．…（6分）
（Ⅱ）不等式，
整理為．…（*）
設(shè)，
則（x＞0）==．…（8分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，2ax-e＜0，又x＞0，所以，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）遞減．
從而g（x）_max=g（e）=0．
故，g（x）≤0恒成立．…（11分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，=．
令，解得，則當(dāng)x＞x₁時(shí)，；
再令，解得，則當(dāng)x＞x₂時(shí)，．
取x=max（x₁，x₂），則當(dāng)x＞x時(shí)，g'（x）＞1．
所以，當(dāng)x∈（x，+∞）時(shí)，g（x）-g（x）＞x-x，即g（x）＞x-x+g（x）．
這與“g（x）≤0恒成立”矛盾．
綜上所述，a≤0．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，涉及函數(shù)的恒成立問題，屬中檔題．