Question

設(shè)f（x）=x²，g（x）=8x，數(shù)列{a_n}（n∈N*）滿足a₁=2，（a_n+1-a_n）•g（a_n-1）+f（a_n-1）=0，記．（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）當(dāng)n為何值時，b_n取最大值，并求此最大值；（Ⅲ）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，得（a_n+1-a_n）•8（a_n-1）+（a_n-1）²=0．
即（a_n-1）（8a_n+1-7a_n-1）=0．
∵a₁=2≠1，∴a₂≠1，同理a₃≠1，…，a_n≠1．
∴8a_n+1=7a_n+1．
即8（a_n+1-1）=7（a_n-1），
∴數(shù)列{a_n-1}是以a₁-1=1為首項，為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（1），得．
∴．
則．
∵，設(shè)≥1，則n≤6．
因此，當(dāng)n＜6時，b_n＜b_n+1；當(dāng)n=6時，b₆=b₇，當(dāng)n＞6時，b_n＞b_n+1．
∴當(dāng)n=6或7時，b_n取得最大值．
（Ⅲ）
相減得：=
=
∴．
分析：（I）求出g（a_n-1），f（a_n-1）將它們代入已知等式得到關(guān)于a_n的等式，判斷出各項都不是1，將其變形得到
8（a_n+1-1）=7（a_n-1），利用等差數(shù)列的定義得到證明．
（II）作出數(shù)列{b_n}終相鄰兩項的商，通過討論n判斷出商與1的大小，即得到數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)一步得到b_n取最大值時n的值．
（III）由于數(shù)列{b_n}的通項特點是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積，利用錯位相減的方法求出數(shù)列的前n項和．
點評：求數(shù)列的前n項和問題，應(yīng)該先求出數(shù)列的通項，根據(jù)通項的特點選擇合適的求和方法．常用的求和方法有：公式法、錯位相減法、倒序相加法、裂項相消法、分組法．