如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=AB=a,E是PB的中點(diǎn).
(I)求異面直線PD、AE所成的角;
(II)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)F,使得EF⊥平面PBC;
(III)求二面角F-PC-E的大。

【答案】分析:(I)先建立空間直角坐標(biāo)系,求出個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),以及,的坐標(biāo),最后代入向量的數(shù)量積計(jì)算公式即可;
(II)先設(shè)出點(diǎn)F的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線EF,BC,PC的方向向量,由向量數(shù)量積為0,求出點(diǎn)F的坐標(biāo),判斷出點(diǎn)F的位置,即可得到答案.
(III)先根據(jù)PD⊥平面ABCD,得到CD是PC在平面ABCD上的射影.進(jìn)而得PC⊥BC;再取PC的中點(diǎn)G,連接EG,則EG∥BC,進(jìn)而得EG⊥PC,通過分析得∠FGE為二面角F-PC-E的平面角,最后在三角形FGE中求出∠FGE;即可得到平面PCF與平面PCE的夾角的余弦值,進(jìn)而求出結(jié)論.
解答:解:(I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A (a,0,0),B(a,a,0),
C(0,a,0),P(0,0,a)
,

又∵,

故異面直線AE、DP所成角為.                    (5分)
(II)∵F∈平面PAD,故設(shè)F(x,0,z),則有
∵EF⊥平面PBC,∴

又∵,

從而
,取AD的中點(diǎn)即為F點(diǎn).                (4分)
(III)∵PD⊥平面ABCD,
∴CD是PC在平面ABCD上的射影.
又∵CD⊥BC,由三垂線定理,有PC⊥BC.
取PC的中點(diǎn)G,連接EG,則EG∥BC.
∴EG⊥PC.
連接FG.
∵EF⊥平面PBC,EG是FG在平面PBC上的射影,且PC⊥EG,
∴FG⊥PC.
∴∠FGE為二面角F-PC-E的平面角.∵,


∴二面角F-PC-E的大小為.                         (5分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定,以及異面直線所成的角,其中建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,將線線垂直問題,轉(zhuǎn)化為向量垂直問題是解答本題第二問的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大。

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G,點(diǎn)E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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