Question

如圖（1），C是直徑AB=2的⊙O上一點(diǎn)，AD為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，△ACD為等邊三角形，連接DO交AC于E，以AC為折痕將△ACD翻折到圖（2）的△ACP位置．
（1）求證異面直線AC和PO互相垂直；
（2）若三棱錐P-ABC的體積為

6

6

，求二面角A-PC-B的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中，△ACD為等邊三角形，AD為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，我們易結(jié)合線面垂直的判定定理，得到翻折后AC⊥平面PEO，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到異面直線AC和PO互相垂直；
（2）過P作PK⊥EO于K，連接KA，KB，KC，由同一法我們可以證得K，O重合，過B作BF⊥平面PAC于F，過B作BG⊥PC于G，連接FG，則∠BGF就是二面角A-PC-B的平面角，利用等體積法，求出B點(diǎn)到平面PAC的距離BF長(zhǎng)，即可求出二面角A-PC-B的正弦值．

解答：解：（1）證明：等邊三角形△ACD中AD=DC，AD為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，
∴DO⊥AC且E為AC中點(diǎn)    （2分）
以AC為折痕將△ACD翻折到圖（2）的△ACP位置時(shí)，
仍有PE⊥AC，OE⊥AC
∴AC⊥平面PEO  （4分）
∴AC⊥PO        （5分）
（2）過P作PK⊥EO于K，連接KA，KB，KC，
∵AC⊥平面PEO
∴AC⊥PK
∴PK⊥平面⊙O（7分）
∵PA=PC
∴KA=KC
∵圖（1）中∠ADC=60°，AB=2為⊙O的直徑，AD為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，
∴Rt△ACB中，AC=AD=DC=AP=PC=

3

，BC=1
∴V_P-ABC=

1

3

•

1

2

AC•BC•PK=

3

6

PK=

6

6

 （8分）
∴PK=

2

∴KA=KC=1
∴K，O重合
∴PO⊥平面⊙O（10分）
∴PA=PB=PC=

3

，OA=OB=OC=BC=1
過B作BF⊥平面PAC于F，過B作BG⊥PC于G，連接FG
則PC⊥平面BFG，
∴FG⊥PC
∴∠BGF就是二面角A-PC-B的平面角（11分）
由三棱錐P-ABC的體積V_P-ABC=

6

6

=

1

3

BF•S_△PAC=

1

3

•

3

4

（

3

）²•BF
得BF=

2 2

3

（12分）
等腰三角形PBC中，BG=

33

6

∴sin∠BGF=

BF

BG

=

4 66

33

∴二面角A-PC-B的正弦值的正弦值為

4 66

33

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，其中（1）的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，（2）的關(guān)鍵是確定∠BGF就是二面角A-PC-B的平面角．