已知函數(shù)f（x）=kex-x2（其中k∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若k＜0，試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若k=2，當x∈（0，+∞）時，試比較f（x）與2的大��；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），求k的取值范圍，并證明0＜f（x1）＜1．
分析：（Ⅰ）求導數(shù)f′（x），由于f′（x）＜0，即得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）根據(jù)導函數(shù)即可判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，由單調(diào)性即可比較f（x）與2的大小；
（Ⅲ）先求導數(shù)f′（x），由題意知x1、x2是方程f′（x）=0的兩個根，令φ(x)=
2x
ex
，利用導數(shù)得到函數(shù)φ（x）的單調(diào)區(qū)間，繼而得到k的取值范圍，由f′（x1）=0，則得k=
2x1
ex1
，又由f（x1）=-（x1-1）2+1，x1∈（0，1），即可得到0＜f（x1）＜1．
解答：解：（Ⅰ）由f′（x）=kex-2x可知，
當k＜0時，由于x∈（0，+∞），f′（x）=kex-2x＜0，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（Ⅱ）當k=2時，f（x）=2ex-x2，則f′（x）=2ex-2x，
令h（x）=2ex-2x，h′（x）=2ex-2，
由于x∈（0，+∞），故h′（x）=2ex-2＞0，
于是h（x）=2ex-2x在（0，+∞）為增函數(shù)，
所以h（x）=2ex-2x＞h（0）=2＞0，即f′（x）=2ex-2x＞0在（0，+∞）恒成立，
從而f（x）=2ex-x2在（0，+∞）為增函數(shù)，
故f（x）=2ex-x2＞f（0）=2．
（Ⅲ）函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2，則x1，x2是f′（x）=kex-2x=0的兩個根，
即方程k=
2x
ex
有兩個根，設(shè)φ(x)=
2x
ex
，則φ′(x)=
2-2x
ex
，
當x＜0時，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增且φ（x）＜0；
當0＜x＜1時，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增且φ（x）＞0；
當x＞1時，φ′（x）＜0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減且φ（x）＞0．
要使k=
2x
ex
有兩個根，只需0＜k＜φ(1)=
2
e
．
故實數(shù)k的取值范圍是(0，
2
e
)．
又由上可知函數(shù)f（x）的兩個極值點x1，x2滿足0＜x1＜1＜x2，
由f′(x1)=kex1-2x1=0，得k=
2x1
ex1
，
∴f(x1)=kex1-
x
2
1
=
2x1
ex1
ex1-
x
2
1
=x1(2-x1)=-
x
2
1
+2x1=-(x1-1)2+1，
由于x1∈（0，1），故0＜-(x1-1)2+1＜1，
所以0＜f（x1）＜1．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的值域、不等式的求解，考查學生解決問題的能力，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，設(shè)t=logax+logxa．
（Ⅰ）當x∈（1，a）∪（a，+∞）時，將f（x）表示成t的函數(shù)h（t），并探究函數(shù)h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當k=4時，若對?x1∈（1，+∞），?x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），試求實數(shù)b的取值范圍．．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
k+1x
（k＜0），求使得f（x+k）＞1成立的x的集合．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=k•a-x（k，a為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8）．
（1）求實數(shù)k，a的值；
（2）若函數(shù)g(x)=
f(x)-1f(x)+1
，試判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•蕪湖二模）給出以下五個命題：
①命題“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函數(shù)f（x）=k•cosx的圖象經(jīng)過點P（
π
3
，1），則函數(shù)圖象上過點P的切線斜率等于-
3

③a=1是直線y=ax+1和直線y=（a-2）x-1垂直的充要條件．
④函數(shù)f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在區(qū)間（0，1）上存在零點．
⑤已知向量
a
=(1，-2)與向量
b
=(1，m)的夾角為銳角，那么實數(shù)m的取值范圍是（-∞，
1
2
）
其中正確命題的序號是
②③④
②③④
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（已知函數(shù)f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，設(shè)t=logax+logxa．
（Ⅰ）當x∈（1，a）∪（a，+∞）時，試將f（x）表示成t的函數(shù)h（t），并探究函數(shù)h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當k=4時，若對任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），試求實數(shù)b的取值范圍．．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案