Question

設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）為不同的兩點(diǎn)，直線l：ax+by+c=0，δ=

ax1+by1+c

ax2+by2+c

，以下命題中正確的個(gè)數(shù)為（　　）
①不論δ為何值，點(diǎn)M，N都不在直線l上；
②若δ=1，則過(guò)M，N的直線與直線l平行；
③若δ=-1，則直線l經(jīng)過(guò)MN的中點(diǎn)；
④若0＜δ＜1，則點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)且直線l與線段MN的反向延長(zhǎng)線相交．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)點(diǎn)與直線方程之間的關(guān)系分別進(jìn)行判斷即可．
（1）根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)可知ax₂+by₂+c≠0，所以正確．
（2）當(dāng)δ=1時(shí)，得到過(guò)M，N的直線方程的斜率和l相等．
（3）當(dāng)δ=-1時(shí)，得到直線過(guò)MN的中點(diǎn)．
（4）當(dāng)0＜δ＜1時(shí)，利用線性規(guī)劃的知識(shí)判斷．

解答：解：（1）由題意知ax₂+by₂+c≠0，∴不論δ為何值，點(diǎn)N都不在直線l上．∴正確．
（2）當(dāng)δ=1時(shí)，得ax₁+by₁+c=ax₂+by₂+c，設(shè)ax₁+by₁+c=ax₂+by₂+c=m，則ax₁+by₁+c-m=0，ax₂+by₂+c-m=0，
則點(diǎn)M，N都滿足直線方程ax+by+（c-m）=0，∴M，N都在這方程表示的直線上，即此直線過(guò)點(diǎn)M，N．
∵m不為0，∴直線ax+by+（c-m）=0與直線l是平行的，∴過(guò)M，N的直線與直線l平行，∴正確．
（3）當(dāng)δ=-1時(shí)，ax₁+by₁+c=-（ax₂+by₂+c），即a（x₁+x₂）+b（y₁+y₂）+2c=0，∴a(

x1+x2

2

)+b(

y1+y2

2

)+c=0，
即直線l經(jīng)過(guò)MN的中點(diǎn)，∴正確．
（4）若0＜δ＜1，即

ax1+by1+c

ax2+by2+c

＞0，∴（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c）＞0，∴根據(jù)線性規(guī)劃的內(nèi)容可知點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)且直線l與線段MN的延長(zhǎng)線相交，∴錯(cuò)誤．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查點(diǎn)與直線位置關(guān)系的判斷，利用方程之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算和分析能力．