Question

已知向量

OA

=(2，0)，

OC

=

AB

=(0，1)，動點M到定直線y=1的距離等于d，并且滿足

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)，其中O是坐標(biāo)原點，k是參數(shù)．
（1）求動點M的軌跡方程，并判斷曲線類型；
（2）當(dāng)k=

1

2

時，求|

OM

+2

AM

|的最大值和最小值；
（3）如果動點M的軌跡是圓錐曲線，其離心率e滿足

3

3

≤e≤

2

2

，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出M的坐標(biāo)并求出A（2，0），B（2，1），C（0，1），把各點的坐標(biāo)以及動點M到定直線y=1的距離等于d代入

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)，整理即可求出動點M的軌跡方程為（1-k）（x²-2x）+y²=0，再分情況得出曲線類型；
（2）先利用（1）的結(jié)論得出：0≤x≤2，y²=

1

2

-

1

2

(x-1)2，再把|

OM

+2

AM

|整理為

9

2

(x-

5

3

)2+

7

2

，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求即可求出|

OM

+2

AM

|的最大值和最小值；
（3）先由離心率e滿足

3

3

≤e≤

2

2

，得圓錐曲線是橢圓，且方程可化為(x-1)2+

y2

1-k

=1．再利用離心率e和系數(shù)的關(guān)系分情況分別求出對應(yīng)的實數(shù)k的取值范圍即可．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），由題設(shè)可得A（2，0），B（2，1），C（0，1）
∴

OM

=(x，y)，

AM

=(x-2，y)，

CM

=(x，y-1)，

BM

=(x-2，y-1)，d=|y-1|，
因

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)
∴（x，y）•（x-2，y）=
k[（x，y-1）•（x-2，y-1）-|y-1|²]
即（1-k）（x²-2x）+y²=0為所求軌跡方程．
當(dāng)k=1時，y=0，動點M的軌跡是一條直線；
當(dāng)k=0時，x²-2x+y²=0，動點M的軌跡是圓；
當(dāng)k≠1時，方程可化為(x-1)2+

y2

1-k

=1，當(dāng)k＞1時，動點M的軌跡是雙曲線；
當(dāng)0＜k＜1或k＜0時，動點M的軌跡是橢圓．
（2）當(dāng)k=

1

2

時，M的軌跡方程為(x-1)2+

y2

1 2

=1，．得：0≤x≤2，y²=

1

2

-

1

2

(x-1)2．
∵|

OM

+2

AM

|2=|(x，y)+2(x-2，y)|2=|(3x-4，3y)|2
=(3x-4)2+9y2=(3x-4)2+9[

1

2

-

1

2

(x-1)2]
=

9

2

(x-

5

3

)2+

7

2

．
∴當(dāng)x=

5

3

時，|

OM

+2

AM

|2取最小值

7

2

當(dāng)x=0時，|

OM

+2

AM

|2取最大值16．
因此，|

OM

+2

AM

|的最小值是

14

2

，最大值是4．
（3）由于

3

3

≤e≤

2

2

，即e＜1，此時圓錐曲線是橢圓，其方程可化為(x-1)2+

y2

1-k

=1，
①當(dāng)0＜k＜1時，a²=1，b²=1-k，c²=1-（1-k）=k，e2=

c2

a2

=k，∵

3

3

≤e≤

2

2

，∴

1

3

≤k≤

1

2

；
②當(dāng)k＜0時，a²=1-k，b²=1，c²=（1-k）-1=-k，e2=

c2

a2

=

-k

1-k

=

k

k-1

，∵

3

3

≤e≤

2

2

，∴

1

3

≤

k

k-1

≤

1

2

，而k＜0得，-1≤k≤-

1

2

．
綜上，k的取值范圍是[-1，-

1

2

]∪[

1

3

，

1

2

]．

點評：本題綜合考查了軌跡方程的求法以及向量與圓錐曲線的綜合問題和分類討論思想的應(yīng)用，是對知識的綜合考查，屬于難題．