Question

已知圓C的圓心在y軸上，半徑為1，且經(jīng)過點P（1，2）．
（1）求圓的方程；
（2）直線l過點P且在圓上截得的弦長為

3

，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為（0，b），則由題意可得  1=

1+(b-2)2

，解出 b 即得圓心坐標(biāo)，根據(jù)半徑
求得圓的方程．
（2）當(dāng)l的斜率不存在時，經(jīng)檢驗不滿足條件．當(dāng)l的斜率存在時，用點斜式設(shè) l的方程，由弦長公式求得
圓心到直線l 的距離，此距離就是圓心到直線的距離，求出 k 值，即得所求的直線方程．

解答：解：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為（0，b），則由題意可得  1=

1+(b-2)2

，∴b=2，
故圓心為（0，2），故所求的圓的方程為 x²+（y-2）²=1．
（2）當(dāng)l的斜率不存在時，l的方程為 x=1，此時，直線l和圓相切，不滿足條件．
當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，則l的方程為 y-2=k（x-1），即 kx-y+2-k=0．
設(shè)圓心（0，2）到直線l 的距離為d，則由弦長公式可得 

3

=2

1-d2

，∴d=

1

2

．
由點到直線的距離公式可得 

1

2

=

|0-2+2-k|

k2+1

，∴k²=

1

3

，∴k=

3

3

，或 k=-

3

3

．
故l的方程為

3

3

x-y+2-

3

3

=0，或-

3

3

x-y+2+

3

3

=0．
綜上，l的方程為

3

x-3y+6-

3

=0，或

3

x+3y-6-

3

=0．

點評：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，求出圓心到
直線l 的距離d是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．