Question

19．如果一個(gè)點(diǎn)是一個(gè)指數(shù)函數(shù)與一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)，那么稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為“好點(diǎn)”．在下面的四個(gè)點(diǎn)M（1，1）、$P（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$、Q（2，1）、$H（{2，\frac{1}{2}}）$中，“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（　　）個(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)“好點(diǎn)”的定義，只要判斷點(diǎn)在指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象上即可．

解答 解：設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為f（x）=log_ax，指數(shù)函數(shù)為g（x）=b^x，
①∵f（1）=log_a1=0，∴M（1，1）不在對(duì)數(shù)函數(shù)圖象上，故M（1，1）不是“好點(diǎn)”．
②∵f（$\frac{1}{2}$）=log_a$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，∴a=$\frac{1}{4}$，即P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）在對(duì)數(shù)函數(shù)圖象上，
∵g（$\frac{1}{2}$）=b²=$\frac{1}{2}$，解得b=$\frac{1}{4}$，即P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）在指數(shù)函數(shù)圖象上，故P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）是“好點(diǎn)”．
③∵f（2）=log_a2=1，∴a=2，即Q（2，1）在對(duì)數(shù)函數(shù)圖象上，
∵g（2）=b²=1，解得b=1，不成立，即Q（2，1）不在指數(shù)函數(shù)圖象上，故Q（2，1）不是“好點(diǎn)”．
④f（2）=log_a2=$\frac{1}{2}$，∴a=4，即H（2，$\frac{1}{2}$）在對(duì)數(shù)函數(shù)圖象上，
∵g（2）=b²=$\frac{1}{2}$，解得b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$即H（2，$\frac{1}{2}$）在指數(shù)函數(shù)圖象上，故H（2，$\frac{1}{2}$）是“好點(diǎn)”．
故P，H是“好點(diǎn)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的新定義，定義的實(shí)質(zhì)是解指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程．