Question

某品牌專賣店準(zhǔn)備在春節(jié)期間舉行促銷活動，根據(jù)市場調(diào)查，該店決定從2種型號的洗衣機，2種型號的電視機和3種型號的電腦中，選出3種型號的商品進行促銷．
（Ⅰ）試求選出的3種型號的商品中至少有一種是電腦的概率；
（Ⅱ）該店對選出的商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品現(xiàn)價的基礎(chǔ)上將價格提高150元，同時，若顧客購買該商品，則允許有3次抽獎的機會，若中獎，則每次中獎都獲得m元獎金．假設(shè)顧客每次抽獎時獲獎與否的概率都是

1

2

，設(shè)顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額（單位：元）為隨機變量X，請寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，問該店若想采用此促銷方案獲利，則每次中獎獎金要低于多少元？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型，從2種型號的洗衣機，2種型號的電視機，3種型號的電腦中，選出3種型號的商品一共C₇³種選法．選出的3種型號的商品中沒有電腦的選法有C₄³種，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果．
（2）X的所有可能的取值為0，m，2m，3m．當(dāng)X=0時表示顧客在三次抽獎中都沒有中獎，由獨立重復(fù)試驗的公式得到概率，同理對于其他的變量的值，用同樣方法做出．
（3）要使促銷方案對商場有利，應(yīng)使顧客獲獎獎金總額的數(shù)學(xué)期望低于商場的提價數(shù)額，因此應(yīng)有1.5m＜150，根據(jù)列出的不等式得到變量m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型，
∵從2種型號的洗衣機，2種型號的電視機，3種型號的電腦中，
選出3種型號的商品一共C₇³種選法．
選出的3種型號的商品中沒有電腦的選法有C₄³種，
∴選出的3種型號的商品中至少有一種是電腦的概率為P=1-

C 3 4

C 3 7

=

31

35

．
（Ⅱ）X的所有可能的取值為0，m，2m，3m．
X=0時表示顧客在三次抽獎中都沒有中獎，
∴P（X=0）=

C

0 3

(

1

2

)0(

1

2

)3=

1

8

同理可得
P（X=m）=C₃¹(

1

2

)1(

1

2

)2=

3

8

，
P（X=2m）=

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)1=

3

8

P（X=3m）=C₃³(

1

2

)3(

1

2

)0=

1

8

∴顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額X的分布列為：

于是顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的數(shù)學(xué)期望是
EX=0×

1

8

+m×

3

8

+2m×

3

8

+3m×

1

8

=1.5m
（Ⅲ）要使促銷方案對商場有利，應(yīng)使顧客獲獎獎金總額的數(shù)學(xué)期望低于商場的提價數(shù)額，
因此應(yīng)有1.5m＜150，所以m＜100．
故每次中獎獎金要低于100元，才能使促銷方案對商場有利．

點評：本題與我們生活關(guān)系密切，本題可以培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，增強學(xué)生數(shù)學(xué)思維情趣，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極態(tài)度．