Question

在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)P_n在函數(shù)的圖象上，且P_n的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列{x_n}．
（1）求點(diǎn)P_n的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于x軸，拋物線C_n的頂點(diǎn)為P_n，且過點(diǎn)D_n（0，n²+1）．記與拋物線C_n相切于點(diǎn)D_n的直線的斜率為k_n，求；
（3）設(shè)S={x|x=2x_n，n∈N*}，T={y|y=4y_n，n∈N*}，等差數(shù)列{a_n}的任一項(xiàng)a_n∈S∩T，其中a₁是S∩T中的最大數(shù)，-265＜a₁₀＜-125，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得x_n，進(jìn)而代入直線方程求得y_n，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可得．
（2）先設(shè)出C_n的方程，把D點(diǎn)代入求得a，進(jìn)而對(duì)函數(shù)進(jìn)行求得求得切線的斜率，即k_n的表達(dá)式，進(jìn)而用裂項(xiàng)法求得
（3）根據(jù)兩集合的特點(diǎn)可知S∩T=T，進(jìn)而推斷出T中最大數(shù)a₁=-17．設(shè){a_n}公差為d，則根據(jù)a₁₀的范圍求得d的范圍，進(jìn)而根據(jù)d=-12m求得d的值．則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可得．
解答：解：（1）∵，
∴．
∴．
（2）∵C_n的對(duì)稱軸垂直于x軸，且頂點(diǎn)為P_n，
∴設(shè)C_n的方程為．
把D_n（0，n²+1）代入上式，得a=1，
∴C_n的方程為y=x²+（2n+3）x+n²+1．
∵k_n=y'|_x=0=2n+3，
∴，
∴=
=．
（3）T={y|y=-（12n+5），n∈N*}={y|y=-2（6n+1）-3，n∈N*}，
∴S∩T=T，T中最大數(shù)a₁=-17．
設(shè){a_n}公差為d，則a₁₀=-17+9d∈（-265，-125．）由此得．
又∵a_n∈T．
∴d=-12m（m∈N*）
∴d=-24，
∴a_n=7-24n（n∈N*，n≥2）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列求和問題．考查了用裂項(xiàng)法求和的方法運(yùn)用和對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．